BZOJ3260 跳 【组合数】

题目

邪教喜欢在各种各样空间内跳。现在，邪教来到了一个二维平面。
在这个平面内，如果邪教当前跳到了(x,y)，那么他下一步可以选择跳到以下4个点：
(x-1,y),(x+1,y),(x,y-1),(x,y+1)。
而每当邪教到达一个点，他需要耗费一些体力，
假设到达(x,y)需要耗费的体力用C(x,y)表示。
对于C(x,y)，有以下几个性质：
1、若x=0或者y=0，则C(x,y)=1。
2、若x>0且y>0，则C(x,y)=C(x,y-1)+C(x-1,y)。
3、若x<0且y<0，则C(x,y)=无穷大。
现在，邪教想知道从(0,0)出发到(N,M)，最少花费多少体力
到达(0,0)点花费的体力也需要被算入）。
由于答案可能很大，只需要输出答案对10^9+7取模的结果。

输入格式

读入两个整数 N ，M，表示邪教想到达的点。
0<=N, M<=10^12 ，N*M<=10^12

输出格式

输出仅一个整数，表示邪教需要花费的最小体力对 10^9+7取模的结果。

输入样例

1 2

输出样例

6

题解

画一下图就发现是一个杨辉三角

先使\(M \le N\)
我们要走到\({N + M \choose M}\)
贪心一下路径就是先走\(N + 1\)个\(1\)，再斜着走\(M\)步
尝试改变一下路径就发现这样的贪心没有问题

答案就是

\[N + \sum\limits_{i = 0}^{M} {N + i \choose i} \]

组合数有一个比较常用的结论就是

\[\sum\limits_{i = 0}^{M} {N + i \choose i} = {N + M + 1 \choose M} \]

由组合数递推可证明

那么答案就是

\[N + {N + M + 1 \choose M} \]

由于题目有\(N*M \le 10^{12}\)的限制，所以\(M \le 10^6\)，直接算就好了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts("");
using namespace std;
const int maxn = 100005,maxm = 100005,INF = 1000000000,P = 1e9 + 7;
LL N,M;
LL qpow(LL a,LL b){
	LL ans = 1;
	for (; b; b >>= 1,a = a * a % P)
		if (b & 1) ans = ans * a % P;
	return ans;
}
int main(){
	scanf("%lld%lld",&N,&M);
	if (M > N) swap(N,M);
	LL ans = 1,ansb = 1;
	for (LL i = 1; i <= M; i++){
		ans = ans * ((N + M + 2 - i + P) % P) % P;
		ansb = ansb * i % P;
	}
	ans = ((ans * qpow(ansb,P - 2) % P + N) % P + P) % P;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}