BZOJ3534 [Sdoi2014]重建 【矩阵树定理】

题目

T国有N个城市，用若干双向道路连接。一对城市之间至多存在一条道路。
在一次洪水之后，一些道路受损无法通行。虽然已经有人开始调查道路的损毁情况，但直到现在几乎没有消息传回。
辛运的是，此前T国政府调查过每条道路的强度，现在他们希望只利用这些信息估计灾情。具体地，给定每条道路在洪水后仍能通行的概率，请计算仍能通行的道路恰有N-1条，且能联通所有城市的概率。

输入格式

输入的第一行包含整数N。
接下来N行，每行N个实数，第i+l行，列的数G[i][j]表示城市i与j之
间仍有道路联通的概率。
输入保证G[i][j]=G[j][i]，且G[i][j]=0；G[i][j]至多包含两位小数。

输出格式

输出一个任意位数的实数表示答案。
你的答案与标准答案相对误差不超过10^(-4)即视为正确。

输入样例

3

0 0.5 0.5

0.5 0 0.5

0.5 0.5 0

输出样例

0.375

提示

1 < N < =50

数据保证答案非零时，答案不小于10^-4

题解

矩阵树定理：
一个图的生成树个数等于矩阵G的\(n - 1\)阶行列式的值
其中矩阵G = D - A
其中D为度数矩阵，只有\(i == j\)的地方不为0，为\(i\)的度数
其中A为邻接矩阵

由基尔霍夫定理，我们直接求\(n - 1\)阶行列式实际上得到的是这个东西：

\[\sum\limits_{Tree} \prod\limits_{e \in Tree} w_e \]

即所有可能的生成树中各边权的积之和

也就是说，我们直接求是这个：

\[\sum\limits_{Tree} \prod\limits_{e \in Tree} P_e \]

但我们要求的答案是这个：

\[\sum\limits_{Tree} \prod\limits_{e \in Tree} P_e \prod\limits_{e \notin Tree} (1 - P_e) \]

我们还差后面那一串，怎么办？
考虑对所有边，令答案乘一个

\[\prod\limits_{e} (1 - P_e) \]

我们就得到了这个：

\[\sum\limits_{Tree} \prod\limits_{e \in Tree} P_e * (1 - P_e) \prod\limits_{e \notin Tree} (1 - P_e) \]

我们只需要把\(\prod\limits_{e \in Tree} P_e * (1 - P_e)\)变成\(\prod\limits_{e \in Tree} P_e\)就可以了
即令

\[\prod\limits_{e \in Tree} w_e = \prod\limits_{e \in Tree} \frac{P_e}{1 - P_e} \]

那么我们令原矩阵A中\(A_{i,j} = \frac{P_{i,j}}{1 - P_{i,j}}\)

问题就圆满解决了

考虑除法问题：
如果一个值等于\(0\)，就令其等于\(eps\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define eps 1e-9
#define LL long long int
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts("");
using namespace std;
const int maxn = 55,maxm = 100005,INF = 1000000000;
double A[maxn][maxn],G[maxn][maxn],ans = 1;
int n;
void gause(){
	for (int i = 1; i < n; i++){
		int j = i;
		for (int k = i + 1; k <= n; k++)
			if (fabs(A[k][i]) > fabs(A[j][i]))
				j = k;
		if (j != i) for (int k = i; k <= n; k++) swap(A[i][k],A[j][k]);
		if (fabs(A[i][i]) < eps){
			ans = 0;
			return;
		}
		for (j = i + 1; j <= n; j++){
			double t = -A[j][i] / A[i][i];
			for (int k = i; k <= n; k++)
				A[j][k] += A[i][k] * t;
		}
	}
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	REP(i,n) REP(j,n){
		scanf("%lf",&G[i][j]);
		if (fabs(G[i][j]) < eps) G[i][j] = eps;
		if (fabs(1 - G[i][j]) < eps) G[i][j] = 1 - eps;
	}
	REP(i,n) REP(j,n){
		A[i][j] = G[i][j] / (1 - G[i][j]);
		if (i < j) ans *= (1 - G[i][j]);
	}
	REP(i,n){
		A[i][i] = 0;
		REP(j,n) if (j != i) A[i][i] -= A[i][j];
	}
	gause();
	REP(i,n - 1) ans *= A[i][i];
	printf("%.10lf",fabs(ans));
	return 0;
}