欧拉函数各种性质

欧拉函数##

欧拉函数，符号记作$\varphi(n)$，其值为小于$n$且与$n$互质的数的个数

性质##

①

对于质数$n$

$$\varphi(n) = n - 1$$

②

对于$n = p^k$

$$\varphi(n) = (p - 1) * p^{k - 1}$$

③

【积性函数】
对于$gcd(n,m) = 1$

$$\varphi(n*m) = \varphi(n)*\varphi(m)$$

④

【计算式】
对于$n = \prod p_i^{k_i}$

$$\varphi(n) = n * \prod (1 - \frac{1}{p_i})$$

⑤

【欧拉定理】
对于互质的$a,m$

$$a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod {m}$$

⑥

小于$n$且与$n$互质的数的和：

$$S = n * \frac{\varphi(n)}{2}$$

⑦

对于质数$p$
若$n \mod p = 0$

$$\varphi(n * p) = \varphi(n) * p$$

若$n \mod p \neq 0$

$$\varphi(n * p) = \varphi(n) * (p - 1)$$

⑧

$$\sum\limits_{d|n} \varphi(d) = n$$

$$\varphi(n) = \sum\limits_{d|n} \mu(d) * \frac{n}{d}$$