欧拉函数各种性质
欧拉函数##
欧拉函数，符号记作\(\varphi(n)\)，其值为小于\(n\)且与\(n\)互质的数的个数
性质##
①
对于质数\(n\)
\[\varphi(n) = n - 1
\]
②
对于\(n = p^k\)
\[\varphi(n) = (p - 1) * p^{k - 1}
\]
③
【积性函数】
对于\(gcd(n,m) = 1\)
\[\varphi(n*m) = \varphi(n)*\varphi(m)
\]
④
【计算式】
对于\(n = \prod p_i^{k_i}\)
\[\varphi(n) = n * \prod (1 - \frac{1}{p_i})
\]
⑤
【欧拉定理】
对于互质的\(a,m\)
\[a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod {m}
\]
⑥
小于\(n\)且与\(n\)互质的数的和：
\[S = n * \frac{\varphi(n)}{2}
\]
⑦
对于质数\(p\)
若\(n \mod p = 0\)
\[\varphi(n * p) = \varphi(n) * p
\]
若\(n \mod p \neq 0\)
\[\varphi(n * p) = \varphi(n) * (p - 1)
\]
⑧
\[\sum\limits_{d|n} \varphi(d) = n
\]
\[\varphi(n) = \sum\limits_{d|n} \mu(d) * \frac{n}{d}
\]
