连续数字异或和

求[1,n]所有数的异或和

如果加以打表，我们会发现其异或和有一定的规律

我们设f(x,y)表示区间[x,y]的异或和
那么有
对于k>=1
$f(2^k,2^{k + 1} - 1)$中，最高位$2^k$的1出现了$2^k$次，异或和为0，所以最高位可以去掉
$f(2^k,2^{k + 1} - 1) = f(2^k - 2^k,2^{k + 1} - 1 - 2^k) = f(0,2 ^ k - 1)$
所以
$f(0,2^{k + 1} - 1) = f(0,2^k - 1) Xor f(2^k,2^{k + 1} - 1) = 0$

由此，对于所有$k>=2$，有$f(0,2^k - 1) = 0$
所以，对于$f(0,n)$，设其最高位为$2^k$
那么$f(0,n) = f(0,2^k - 1) Xor f(2^k,n) = f(2^k,n)$
在$[2^k,n]$中，最高位出现的次数取决与n的奇偶

1、若n为奇数，那么最高位出现了$n + 1$次为偶数，可以去掉
$f(2^k,n) = f(0,n - 2^k)$，可以发现$n - 2^k$与n具有相同的奇偶性，可以利用同样的推导去掉
最后$f(0,n)$的就取决于<4的部分，即mod 4后的异或和

那么我们有：
如果n为奇数
若$n \equiv 1 \pmod{4}$，$f(0,n) = 1$
若$n \equiv 3 \pmod{4}$，$f(0,n) = 0$

2、若n为偶数，那么最高位出现了$n + 1$次为奇数，一定可以保留
同样的，$f(2^k,n) = f(0,n - 2^k)$，可以发现$n - 2^k$与n具有相同的奇偶性，可以利用同样的推导去掉
最后$f(0,n)$的后两位就取决于<4的部分

那么我们有：
如果n为偶数
若$n \equiv 0 \pmod{4}$，$f(0,n) = n$
若$n \equiv 2 \pmod{4}$，$f(0,n) = n + 1$

这样，我们就get了一个$O(1)$求连续数字异或和的方法

若$n \equiv 0 \pmod{4}$，$f(0,n) = n$
若$n \equiv 1 \pmod{4}$，$f(0,n) = 1$
若$n \equiv 2 \pmod{4}$，$f(0,n) = n + 1$
若$n \equiv 3 \pmod{4}$，$f(0,n) = 0$