连续数字异或和

求[1,n]所有数的异或和

如果加以打表，我们会发现其异或和有一定的规律

我们设f(x,y)表示区间[x,y]的异或和
那么有
对于k>=1
\(f(2^k,2^{k + 1} - 1)\)中，最高位\(2^k\)的1出现了\(2^k\)次，异或和为0，所以最高位可以去掉
\(f(2^k,2^{k + 1} - 1) = f(2^k - 2^k,2^{k + 1} - 1 - 2^k) = f(0,2 ^ k - 1)\)
所以
\(f(0,2^{k + 1} - 1) = f(0,2^k - 1) Xor f(2^k,2^{k + 1} - 1) = 0\)

由此，对于所有\(k>=2\)，有\(f(0,2^k - 1) = 0\)
所以，对于\(f(0,n)\)，设其最高位为\(2^k\)
那么\(f(0,n) = f(0,2^k - 1) Xor f(2^k,n) = f(2^k,n)\)
在\([2^k,n]\)中，最高位出现的次数取决与n的奇偶

1、若n为奇数，那么最高位出现了\(n + 1\)次为偶数，可以去掉
\(f(2^k,n) = f(0,n - 2^k)\)，可以发现\(n - 2^k\)与n具有相同的奇偶性，可以利用同样的推导去掉
最后\(f(0,n)\)的就取决于<4的部分，即mod 4后的异或和

那么我们有：
如果n为奇数
若\(n \equiv 1 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = 1\)
若\(n \equiv 3 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = 0\)

2、若n为偶数，那么最高位出现了\(n + 1\)次为奇数，一定可以保留
同样的，\(f(2^k,n) = f(0,n - 2^k)\)，可以发现\(n - 2^k\)与n具有相同的奇偶性，可以利用同样的推导去掉
最后\(f(0,n)\)的后两位就取决于<4的部分

那么我们有：
如果n为偶数
若\(n \equiv 0 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = n\)
若\(n \equiv 2 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = n + 1\)

这样，我们就get了一个\(O(1)\)求连续数字异或和的方法

若\(n \equiv 0 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = n\)
若\(n \equiv 1 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = 1\)
若\(n \equiv 2 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = n + 1\)
若\(n \equiv 3 \pmod{4}\)，\(f(0,n) = 0\)