BZOJ3527 [Zjoi2014]力 【fft】

题目

给出n个数qi，给出Fj的定义如下：

令Ei=Fi/qi，求Ei.

输入格式

第一行一个整数n。

接下来n行每行输入一个数，第i行表示qi。

输出格式

n行，第i行输出Ei。与标准答案误差不超过1e-2即可。

输入样例

5

4006373.885184

15375036.435759

1717456.469144

8514941.004912

1410681.345880

输出样例

-16838672.693

3439.793

7509018.566

4595686.886

10903040.872

题解

卷积什么的感觉好优美~~

卷积

先普及一下离散卷积的定义【瞎编的】：

对于两个序列\(x(n)\)和\(y(n)\)
其卷积\((x*y)(n) = \sum_{-\infty}^{\infty}x(k)y(n - k)\)

即当一个序列所有i位置上的值c(i)等于所有位置之和为i的x(k)*y(i - k)乘积的和时，可以看做c()为x()和y()的卷积

就好比多项式a(n) b(n)相乘，对于次数i的系数\(c(i)=\sum a(k)*b(i - k)\)

而求离散卷积可以使用离散快速傅里叶\(O(nlogn)\)高效求出

本题##

观察式子
\(Ei = \sum_{j<i}\frac{qj}{(i-j)^2} - \sum_{j>i}\frac{qj}{(i-j)^2}\)
我们将两个求和分开来求

我们令\(b(i) = \frac{1}{i^2}\)，特别的，\(b(0) = 0\)
我们令\(a(i) = qi\)
我们会发现左边【即为\(L(i)\)】\(L(i) = \sum a(j)*b(i - j)\)，刚好就是卷积的形式
可以用fft求出

同样的，对于右边
\(R(i) = \sum a(j)*b(j - i)\)
诶？不对啊，\(j + j - i\)不是定值啊。
但是ta们的位置关系还是很固定，考虑变形

我们将\(a(i)\)翻转，即令\(c(n-i)=a(i)\)
奇迹发生了：
\(R(i) = \sum c(n - j)*b(j - i)\)
这样我们算出的卷积，\(R(i)\)就与\(E_{n-i}\)对应

最后将算出的两个结果相减
呼啦啦，搞完啦~~

#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<complex>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define Redge(u) for (int k = h[u],to; k; k = ed[k].nxt)
#define BUG(s,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) cout<<s[i]<<' '; puts("");
using namespace std;
const int maxn = 400005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
const double pi = acos(-1);
typedef complex<double> E;
E a[maxn],b[maxn],aa[maxn];
int n,m,L,R[maxn];
void fft(E* a,int f){
	for (int i = 0; i < n; i++) if (i < R[i]) swap(a[i],a[R[i]]);
	for (int i = 1; i < n; i <<= 1){
		E wn(cos(pi / i),f * sin(pi / i));
		for (int j = 0; j < n; j += (i << 1)){
			E w(1,0);
			for (int k = 0; k < i; k++,w *= wn){
				E x = a[j + k],y = w * a[j + k + i];
				a[j + k] = x + y; a[j + k + i] = x - y;
			}
		}
	}
	if (f == -1) for (int i = 0; i < n; i++) a[i] /= n;
}
int main(){
	scanf("%d",&n); --n; double q;
	for (int i = 0; i <= n; i++){
		scanf("%lf",&q);
		a[i] = q; aa[n - i] = q;
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) b[i] = 1.0 / i / i;
	m = n << 1; for (n = 1; n <= m; n <<= 1) L++;
	for (int i = 0; i < n; i++) R[i] = (R[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));
	fft(a,1); fft(aa,1); fft(b,1);
	for (int i = 0; i < n; i++) a[i] *= b[i];
	for (int i = 0; i < n; i++) aa[i] *= b[i];
	fft(a,-1); fft(aa,-1);
	for (int i = 0; i <= (m >> 1); i++) printf("%.6lf\n",a[i].real() - aa[(m >> 1) - i].real());
	return 0;
}