有上下界的网络流问题学习笔记
刚刚学了有上下界的网络流问题,总结一下。
大概可以分为4种:
1、无源汇的可行流
2、有源汇的可行流
3、有源汇的最大流
4、有源汇的最小流
无源汇的可行流
想像一条水循环系统,无源汇的可行流就是流量在整张图里循环,每一个节点都满足流量守恒,没有源点和汇点这样的特殊点。
但是,在这个问题中,每条边都有一个容量下限Bi和一个容量上限Ci。上限好理解,就是普通最大流中的东西,但下限怎么处理?
想象,如果在这张流网络满足每条边的流量都在【Bi,Ci】内,那么对于每个节点,流经它的流量至少为它的入边的下限和,流出它的流量至少为它出边的下限和。
怎么限制住这个条件呢?于是我们人为地加入一个源点S和汇点T:
S:向每个节点连一条边,容量为它入边的下限和
T:每个节点向T连一条边,容量为它出边的下限和
对每条其它的边,容量变为Ci-Bi,即为正常的最大流的边。
为什么能这样呢?
每条边上的流量可以分为两种:限制流和自由流
限制流就是为了满足下限而必须存在的流,也就是该边的下限
自由流即超出下限的那一部分
我们加入S和T,砍掉其它边的下限,相当于把其它边的限制流抢了过来,由S和T管理,这样子剩下的就是自由流,可以为任意流量。
这样一来,如果该流网络存在可行流,当且仅当求出S到T的最大流后S的出边都满载,T的入边都满载。
ZOJ2314 Reactor Cooling
#include<iostream> #include<cstdio> #include<queue> #include<algorithm> using namespace std; const int maxn=205,maxm=80005,INF=2000000000; int inf[maxn],outf[maxn]; inline int read() { int out=0,flag=1;char c=getchar(); while(c<48||c>57) {if(c=='-') flag=-1;c=getchar();} while(c>=48&&c<=57) {out=out*10+c-48;c=getchar();} return out*flag; } int head[maxn],nedge=0; class EDGE { public: int to,next,f,b; }edge[maxm]; inline void build(int a,int b,int w,int l) { edge[nedge]=(EDGE){b,head[a],w,l}; head[a]=nedge++; edge[nedge]=(EDGE){a,head[b],0,l}; head[b]=nedge++; } int cur[maxn],S,T,d[maxn]; bool vis[maxn]; bool bfs() { fill(vis,vis+maxn,false); queue<int> q; q.push(S); d[S]=0;vis[S]=true; int u,to; while(!q.empty()) { u=q.front(); q.pop(); for(int k=head[u];k!=-1;k=edge[k].next) if(!vis[to=edge[k].to]&&edge[k].f) { d[to]=d[u]+1; vis[to]=true; q.push(to); } } return vis[T]; } int dfs(int u,int minf) { if(u==T||!minf) return minf; int flow=0,f,to; if(cur[u]==-2) cur[u]=head[u]; for(int& k=cur[u];k!=-1;k=edge[k].next) if(d[to=edge[k].to]==d[u]+1&&(f=dfs(to,min(minf,edge[k].f)))) { edge[k].f-=f; edge[k^1].f+=f; flow+=f; minf-=f; if(!minf) break; } return flow; } int maxflow() { int flow=0; while(bfs()) { fill(cur,cur+maxn,-2); flow+=dfs(S,INF); } return flow; } int main() { int CNT=read(); while(CNT--) { fill(head,head+maxn,-1); fill(inf,inf+maxn,0); fill(outf,outf+maxn,0); nedge=0; int N=read(),M=read(),a,b,l,r; S=0;T=N+1; for(int i=1;i<=M;i++) { a=read(); b=read(); l=read(); r=read(); outf[a]+=l; inf[b]+=l; build(a,b,r-l,l); } int cnt=0,flow; for(int i=1;i<=N;i++) build(S,i,inf[i],0),cnt+=inf[i]; for(int i=1;i<=N;i++) build(i,T,outf[i],0); flow=maxflow(); //cout<<cnt<<' '<<flow<<endl; if(cnt==flow) { printf("YES\n"); for(int i=0;(i>>1)<M;i+=2) printf("%d\n",edge[i^1].f+edge[i^1].b); } else printf("NO\n"); } return 0; }
有源汇的可行流
与无源汇的可行流类似,有源汇的可行流就是多了个源点和汇点。这个时候我们可以从另一个角度来看网络流:虽然S和T不满足流量限制,但如果我们人为连一条由T到S的容量为正无穷的边,那么它就转化成了所有点都遵循容量限制的无源汇的流网络。
那么我们再加一个超级源点S‘和超级汇点T’【就相当于上边的人为加入的源汇点】,就可以转化为无缘汇的可行流啦。
有源汇的最大流
有源汇的最大流就是在求出有源汇的可行流之后去掉加入的T到S的无穷大的边,然后再在求完可行流的残量网络中求一遍由S到T的最大流即为最大流
最后结果为可行流中边T->S的流量+新一次最大流中新增的流量。
有源汇的最小流
求法:
1、同样加一个超级源S‘,超级汇T’,【这个时候不加边T->S】求一遍S‘到T’最大流
2、加入边T->S【正无穷】,再求一遍S‘到T’最大流。
3、若S‘出去的边不满流,T’进来的边不满流,则无解,否则解为T->S边的流量。【这些流量为使可行流成立必须加的流】
我很辣鸡,只知道这些。
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