中国剩余定理

韩信点兵的故事大家一定都听说过，韩信让士兵分别3个3个报数多2人，5个5个报数多4人，7个7个报数多6人，通过每次报数的余数计算出军队的人数。

其实，韩信所做的，就是解了三个同余方程：

x≡2 (mod 3)

x≡4 (mod 5)

x≡6 (mod 7)

怎么解呢？古人想了一个聪明的办法：

找一个数x1，使得它是5和7的倍数，而除3余2,

找一个数x1，使得它是7和3的倍数，而除5余4,

找一个数x1，使得它是5和3的倍数，而除7余6,

然后三个数加起来，就一定满足这个条件，而且解周期为3*5*7

中国剩余定理

我们把这个算法拓展，对于任意的方程组x≡bi (mod mi)

即：

x≡b1 (mod m1)

x≡b2 (mod m2)

x≡b3 (mod m3)

......

x≡bn (mod mn)

其中m都是互质的

那么我们对于每一个方程，算出一个xi，使得xi满足：xi≡1 (mod mi) 且xi≡0 (mod mj)【j!=i】

也就是说xi是其他m的倍数，而模mi余1

y*(N/mi)≡1 (mod mi)  【N=m1*m2*m3*......mn】用扩展欧几里得算法就可以解出了

那么最终的x=(x1*b1+x2*b2+x3*b3+......xn*bn) mod N   【N=m1*m2*m3*......mn】

【我懒就先不打代码了= =】

水题：POJ1006

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
using namespace std;
const int maxn=100005,INF=2000000000,P=1000000007;

void exgcd(int a,int b,int& d,int& x,int& y){
	if(!b) {d=a;x=1;y=0;}
	else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
}

int main(){
	int N=21252,A[4],T[4]={0,23,28,33},t,ans=0,cnt=0;
	while(cin>>A[1]>>A[2]>>A[3]>>t){
		if(t==-1) break;
		ans=0;
		cnt++;
		for(int i=1;i<=3;i++){
			int x,y,a=T[i],b=N/T[i],d;
			exgcd(a,b,d,x,y);
			ans=(ans+y*b*A[i])%N;
		}
		ans=((ans-t)%N+N)%N;
		if(!ans) ans+=N;
		printf("Case %d: the next triple peak occurs in %d days.\n",cnt,ans);
	}
	return 0;
}