[Ahoi2005]COMMON 约数研究 【欧拉线性筛的应用】
1968: [Ahoi2005]COMMON 约数研究
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Description
![](http://www.lydsy.com/JudgeOnline/images/1968.jpg)
Input
只有一行一个整数 N(0 < N < 1000000)。
Output
只有一行输出,为整数M,即f(1)到f(N)的累加和。
Sample Input
3
Sample Output
5
题解
我们知道一个数x的约数个数 = (a1 + 1) * (a2 + 1) * (a3 + 1)......(ak + 1)
其中x的质因子分解:x = p1^a1 * p2^a2 * p3^a3 ......pk^ak
现在我们需要算出所有数的约数个数和
直接算?O(n√n) n <= 1000000肯定超时
考虑线性筛
若i为质数,显然f[i] = 2
若i不为质数,它一定会在线性筛中被它除去最小的一个质因数后的那个数筛去
例如 20 = 2 * 2 * 5,那么在筛到10 = 2 * 5时,我们会用 2 * 10 筛去20
由于比10及10以前的f值已经确定
这个时候f[20] = f[10] + f[10 / 2^1] = (1 + 1) * (1 + 1) + (1 + 1) = 3 * 2
也就是f[i * prime[j]] = f[i] + f[i除去所有prime[j]后的数]
UPD2018.1.27:
其实这道题有更快的方法。。。。是我蠢了
∑[N/i]即可
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> #include<bitset> #define LL long long int #define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++) using namespace std; const int maxn = 1000005,maxm = 100005,INF = 1000000000; int prime[maxn],primei = 0,n; LL f[maxn],M = 0; bitset<maxn> isp; void cal(){ int t; isp.set(); f[1] = 1; for (int i = 2; i <= n; i++){ if (isp[i]) prime[++primei] = i,f[i] = 2; for (int j = 1; j <= primei && i * prime[j] <= n; j++){ isp[i * prime[j]] = false; for (t = i; t % prime[j] == 0; t /= prime[j]); f[i * prime[j]] = f[i] + f[t]; if (i % prime[j] == 0) break; } } REP(i,n) M += f[i]; } int main() { cin >> n; cal(); cout << M << endl; return 0; }
UPD:
#include<iostream> using namespace std; int main(){ int n,nxt; cin>>n; long long int ans = 0; for (int i = 1; i <= n; i = nxt + 1){ nxt = n / (n / i); ans += (long long int)n / i * (nxt - i + 1); } cout<<ans<<endl; return 0; }