BZOJ2705 [SDOI2012]Longge的问题 【欧拉函数】

 

2705: [SDOI2012]Longge的问题

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Description

Longge的数学成绩非常好，并且他非常乐于挑战高难度的数学问题。现在问题来了：给定一个整数N，你需要求出∑gcd(i, N)(1<=i <=N)。

Input

一个整数，为N。

Output

一个整数，为所求的答案。

Sample Input

6

Sample Output

15

HINT

 

【数据范围】

对于60%的数据，0<N<=2^16。

对于100%的数据，0<N<=2^32。

 

 

 

 

与N的gcd结果一定是N的因子

那么我们枚举N的因子k，则ans = ∑k * f(k)  ，f(k)表示小于N有多少个数gcd(i,N)=k

我们知道若gcd(i,N)=k，则gcd(i/k,N/k)=1，就变成了有多少个数与N/k互质，那不就是欧拉函数phi(N/k)么？

N <= 2^32，所以枚举N的因子最多不超过√N个，欧拉函数用质因数分解的求法是O(√(N / k))

总复杂度达不到O(N) 

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define fo(i,x,y) for (int i = (x); i <= (y); i++)
#define Redge(u) for (int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next)
using namespace std;
const int maxn = 100005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
LL phi(int n){
	LL ans = n,E = (int)sqrt(n);
	for (int i = 2; i <= E; i++){
		if (n % i == 0){
			ans = ans * (i - 1) / i;
			while (n % i == 0) n /= i;
		}
	}
	if (n - 1) ans = ans * (n - 1) / n;
	return ans;
}
int main()
{
	LL n,ans = 0;
	cin>>n;
	int E = (int)sqrt(n);
	for (int i = 1; i <= E; i++){
		if (n % i) continue;
		if (i * i == n) ans += i * phi(n / i);
		else ans += i * phi(n / i) + n / i * phi(i);
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}