BZOJ2460 [BeiJing2011]元素 【线性基】

 

2460: [BeiJing2011]元素

Time Limit: 20 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 1675  Solved: 869
[Submit][Status][Discuss]

Description

  相传，在远古时期，位于西方大陆的 Magic Land 上，人们已经掌握了用魔
法矿石炼制法杖的技术。那时人们就认识到，一个法杖的法力取决于使用的矿石。
一般地，矿石越多则法力越强，但物极必反：有时，人们为了获取更强的法力而
使用了很多矿石，却在炼制过程中发现魔法矿石全部消失了，从而无法炼制
出法杖，这个现象被称为“魔法抵消” 。特别地，如果在炼制过程中使用超过
一块同一种矿石，那么一定会发生“魔法抵消”。 
  后来，随着人们认知水平的提高，这个现象得到了很好的解释。经过了大量
的实验后，著名法师 Dmitri 发现：如果给现在发现的每一种矿石进行合理的编
号（编号为正整数，称为该矿石的元素序号），那么，一个矿石组合会产生“魔
法抵消”当且仅当存在一个非空子集，那些矿石的元素序号按位异或起来
为零。 （如果你不清楚什么是异或，请参见下一页的名词解释。 ）例如，使用两
个同样的矿石必将发生“魔法抵消”，因为这两种矿石的元素序号相同，异或起
来为零。 
  并且人们有了测定魔力的有效途径，已经知道了：合成出来的法杖的魔力
等于每一种矿石的法力之和。人们已经测定了现今发现的所有矿石的法力值，
并且通过实验推算出每一种矿石的元素序号。 
   现在，给定你以上的矿石信息，请你来计算一下当时可以炼制出的法杖最多
有多大的魔力。 
 

Input

第一行包含一个正整数N，表示矿石的种类数。 
  接下来 N行，每行两个正整数Numberi 和 Magici，表示这种矿石的元素序号
和魔力值。

 

Output

仅包一行，一个整数：最大的魔力值

Sample Input

3
1 10
2 20
3 30

Sample Output

50

HINT

 

 

由于有“魔法抵消”这一事实，每一种矿石最多使用一块。 

如果使用全部三种矿石，由于三者的元素序号异或起来：1 xor 2 xor 3 = 0 ，

则会发生魔法抵消，得不到法杖。 

可以发现，最佳方案是选择后两种矿石，法力为 20+30=50。 

 

对于全部的数据：N ≤ 1000，Numberi ≤ 10^18

，Magici ≤ 10^4

。

 

 

题目要我们求出编号异或不出0的最大权值和

显然线性基可以为这样的异或问题提供很好的优化

我们按权值大到小依次插入线性基，如果插入成功，即当前线性基通过异或不能使当前编号为0，说明没有矛盾，而当前元素也是当前未插入最小的，所以可以贪心插入，最后的权值就是最大的

通过这道题，对线性基的理解更深了一步。

线性基一般解决的都是与异或有关的选择、组合问题，通常要求最值，就可以通过线性基优化，贪心选择了

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define Redge(u) for (int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next)
using namespace std;
const int maxn = 1005,maxm = 100005,INF = 1000000000;
inline LL RD(){
	LL out = 0,flag = 1; char c = getchar();
	while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
	while (c >= 48 && c <= 57) {out = (out << 1) + (out << 3) + c - '0'; c = getchar();}
	return out * flag;
}
LL bin[65],A[65];
int N,ans = 0;
struct node{LL id; int v;}e[maxn];
inline bool operator <(const node& a,const node& b){return a.v > b.v;}
int main(){
	bin[0] = 1;REP(i,60) bin[i] = bin[i - 1] << 1;
	N = RD();
	REP(i,N) e[i].id = RD(),e[i].v = RD();
	sort(e + 1,e + 1 + N);
	for (int i = 1; i <= N; i++){
		for (LL j = 60; j >= 0; j--){
			if (e[i].id & bin[j]){
				if (!A[j]) {A[j] = e[i].id;break;}
				else e[i].id ^= A[j];
			}
		}
		if (e[i].id) ans += e[i].v;
	}
	cout<<ans<<endl;
	return 0;
}