零钱兑换 II

给定不同面额的硬币和一个总金额。写出函数来计算可以凑成总金额的硬币组合数。假设每一种面额的硬币有无限个。

示例 1:

输入: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
输出: 4
解释: 有四种方式可以凑成总金额:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

示例 2:

输入: amount = 3, coins = [2]
输出: 0
解释: 只用面额2的硬币不能凑成总金额3。

示例 3:

输入: amount = 10, coins = [10] 
输出: 1

注意:

你可以假设：

0 <= amount (总金额) <= 5000
1 <= coin (硬币面额) <= 5000
硬币种类不超过 500 种
结果符合 32 位符号整数

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/coin-change-2

解题思路

​ 原本一开始想到是01背包问题，但是感觉01背包并不能解决组合数的问题，并且在列出01背包的二维方程之后，因为找不到状态转移方程而放弃。但是看了评论之后才发现，01背包是纯天然的解决这类问题的好手。并且这道题和爬楼梯有点类似。

​ 使用动态规划的方法计算。用dp[x]表示金额之和等于x的硬币组合数。动态规划的边界是dp[0]=1。只有当不选取任何硬币时，金额之和才为0。对于coins中的每个元素值，可以组成x的硬币组合数为dp[x-coins[i]]，即表示在一定取coins[i]的情况下，组合成x-coins[i]硬币的组合数，就是对于coins[i]组成金额之和x的硬币组合数。因此在x>=coins[i]的情况下，状态转移方程：dp[x] = dp[x] + dp[x-coins[i]]。这里表示为在取i个元素之前（包括i)，能组成的硬币组合数。

​ 因此是组合，就要考虑是否存在重复的情况下。上面的逻辑不会出现重复的情况下。因此对于x = coins[i] + x - coins[x-coins[i]]保证了计算顺序，也就相当于3=2+1，不可能出现3=1+2的计算方式，因此不存在重复的情况。

代码

func change(amount int, coins []int) int {

	dp := make([]int,amount+1)
	dp[0] = 1
	for i:=0;i<len(coins);i++{
		for j:=1;j<len(dp);j++{
			if j - coins[i] >= 0 {
				dp[j] = dp[j] + dp[j-coins[i]]
			}
		}
	}
	return dp[amount]
}