最后一块石头的重量 II

有一堆石头，用整数数组 stones 表示。其中 stones[i] 表示第 i 块石头的重量。

每一回合，从中选出任意两块石头，然后将它们一起粉碎。假设石头的重量分别为 x 和 y，且 x <= y。那么粉碎的可能结果如下：

如果 x == y，那么两块石头都会被完全粉碎；
如果 x != y，那么重量为 x 的石头将会完全粉碎，而重量为 y 的石头新重量为 y-x。
最后，最多只会剩下一块 石头。返回此石头 最小的可能重量 。如果没有石头剩下，就返回 0。

示例 1：

输入：stones = [2,7,4,1,8,1]
输出：1
解释：
组合 2 和 4，得到 2，所以数组转化为 [2,7,1,8,1]，
组合 7 和 8，得到 1，所以数组转化为 [2,1,1,1]，
组合 2 和 1，得到 1，所以数组转化为 [1,1,1]，
组合 1 和 1，得到 0，所以数组转化为 [1]，这就是最优值。

示例 2：

输入：stones = [31,26,33,21,40]
输出：5

示例 3：

输入：stones = [1,2]
输出：1

错误解法

​ 每次都将最大和次大的石头进行消除，此目的在于每次都将最大的石头消除。解法为：每次循环之前先将数组进行从小到大排序，然后取最大和次大的相减，将得到的值重新放入到数组中，并且将最大和次大的值从数组中删除。直到数组的长度等于1或者零，结束循环。

func lastStoneWeightII(stones []int) int {
	if len(stones)==0 {
		return 0
	}

	if len(stones)==1{
		return stones[0]
	}
	sort.Ints(stones)
	a := len(stones)-1
	b := a - 1
	tmp := 0
	tmp = stones[a] -stones[b]
	if tmp!=0{
		stones = stones[:len(stones)-2]
		stones = append(stones,tmp)
	}
	return lastStoneWeightII(stones)
}

结果错误：一种情况是，当出现两个最大的时候，然后其他的又比较靠近的时候，这种解法就会出现错误。

正确解法

​ 从计算表达式上看，结合减数和被减数，只要这两个值相减的结果越小越好。假设减数为n，则被减数为sum-n。因此所求的结果为：sum-2n。因此我们只要求出n越接近sum/2越好。对于从一堆数组中求出越接近n的问题跟01背包问题的解法一样。

​ dp[i]/[j]表示前i个数能凑成和不超过j的最大值。每个物品都有选和不选的两种决策。对于前i（从1开始）个物品来说，如果stones[i-1]>j的话，此时的dp[i]/[j] = dp[i-1]/[j]，即不选。如果前i个物品，如果stones[i-1] <= j，此时可以选和可以不选，我们只要这两个决策中的最大值：dp[i]/[j] = max(dp[i-1]/[j],dp[i-1]/[j-stons[i-1]]+stones[i-1])。

代码实现：

package main

import (
	"log"
)

func lastStoneWeightII(stones []int) int {
	sum :=0
	for i:=0;i<len(stones);i++{
		sum += stones[i]
	}
	sum2 := sum / 2
	dp := make([][]int,len(stones)+1)
	for i:=0;i<len(dp);i++{
		dp[i] = make([]int,sum2+1)
	}
	n := len(stones)
	for i:=1;i<=n;i++{
		for j:=0;j<=sum2;j++{
				if j<stones[i-1]{
				dp[i][j] = dp[i-1][j]
				}else if j>=stones[i-1] {
					// 这里有点迷惑：为什么是取最大值呢
					dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-stones[i-1]] + stones[i-1])
				}
		}
	}
	return sum - 2 * dp[n][sum2]
}

func max(a,b int)int{
	if a>b{
		return a
	}
	return b
}

func main(){
	log.Println(lastStoneWeightII([]int{31,26,33,21,40}))
}