本征向量、本征值、正定矩阵的定性理解

下面所有的黑色字体的字母都是矩阵 

本征向量和本征值的定义：

对于一个非零向量x和一个矩阵A，如果标量a使得：

　　　　　　　　Ax=ax

则可以称a为A的本征值，x为本征向量。

 

本征值和本征向量的求法：

　　Ax-ax=0   （1）

　　(A-aI)x=0 （2）

　　则只要A-aI的行列式为零，就可以求出a的值；然后将a的值代入上面的（2）的式子，就可以求出本征向量里面的元素的关系

本征值在几何上的意义：会将对应本征向量方向上的向量进行缩放，既可以说：缩放的倍数就是本征值

正定矩阵的定义：

对于任意非零的向量x和一个对称矩阵A，如果满足：x^TAx>0，就称A为对称矩阵。

正定矩阵在几何上面的理解：

在空间中找到一组为正交的向量，经过正定矩阵的变化，变化后他们还是正交的，且方向会不变。但是他们的向量的模会改变。

猜测：可以用来对图片进行缩放