K：红黑树

红黑树由AVL树改进而来，红黑树与AVL都是平衡结构的树。对于AVL树，其每次插入操作都需要从根节点处开始判断该树是否失去平衡，从而做出相应的调整。且其调整过程较为麻烦，每次都需要判断其左右两棵子AVL树的深度情况。相对于红黑树，其将关注点从AVL树的左右两棵子树的深度的失衡情况（也就是平衡因子）转变为了树的节点的颜色。从原先的由于AVL树的深度不一导致的失衡而对该二叉树进行调整转变为了由于该二叉树的相关节点的颜色不符合规则，而对该二叉树进行相应的调整的情况。

红黑树的相关规则：

每个节点要么是黑色，要么是红色
根节点是黑色的
每个叶节点(NULL或空节点)是黑色
每个红色节点的两个叶子节点都是黑色的（也就是说并不存在两个连续的红色节点）
从任意一个节点到其子树中的所有路径都包含相同数目的黑色节点

如下图所示：

红黑树1

通过这五条性质，可以通过数学证明来证明，满足这五条性质的二叉树可以将查找和删除操作维持在对数时间内。当我们插入和删除操作时，所做的一切操作都是为了调整树使之符合这五条性质。以下介绍调整树的相关结构的两个基本操作：

左旋：

左旋动图

右旋：

右旋动图

旋转的目的是将节点多的一支出让节点给另一个节点少的一支

在讲解相关的操作之前，明确下各个节点的叫法：

各节点名称

以下讨论红黑树的两个基本操作：

1. 插入:

对于插入操作，我们插入的节点均将其着色为红色，如果插入的节点为黑色节点，那就违背了性质五，需要进行大规模的调整，如果我们插入的是红色节点，那就在插入节点的父节点也是也是红色的时候违反性质四或者是当插入的节点是根节点时，违反性质二。相对而言，其调整程度小于插入节点为黑色节点的情况。需要注意的是红黑树的插入过程与二叉搜索树的相同，只是之后再进行相应的调整。

下面是可能遇到的插入的几种情况：

当插入的节点为根节点的时候，只需要直接将该节点涂黑即可。
当要插入的节点的父节点为黑色的时候，这时插入一个红色的节点并没有对着五个性质产生破坏。所以直接插入不用进行调整。
如果插入的节点的父节点是红色节点，这时就需要分情况进行相应的调整操作，以保证红黑树的相关性质
1. 插入的节点的父节点为红色节点，且其父节点是祖父节点的左分支的情况：
  这时，也需要分两种情况进行讨论：
  1. 叔叔节点为红色节点，如下情况所示：
  这时，只需要将父节点和叔叔节点涂成黑色，将祖父节点涂成红色即可。
  1. 叔叔节点为黑色节点
    
    当叔叔节点为黑色节点的时候，也分两种情况：
    1. 插入节点是父节点的左分支，如下情况所示：
    这时，违背了性质四，我们需要对其进行相应的调整，使满足红黑树的相关性质。我们可以通通过对其祖父节点进行右旋同时将祖父节点和父节点的颜色进行互换，这样就变成了：
    
    经过调整之后的红黑树可以符合性质四并且不对其它性质产生破坏
    1. 插入节点为父节点的右分支，如下情况所示：
    我们可以先对父节点进行左旋操作，变成如下所示：
    
    如果我们把原先的父节点看做是新的要插入的节点，把原先要插入的节点看做是新的父节点，那就变成了当要插入的节点在父节点的左支的情况，这样就可以按照当要插入的节点在父节点的左分支的情况进行旋转，旋转后变成如下的情况：
2. 插入的节点的父节点为红色节点，且其父节点是祖父节点的右分支，这种情况与插入的节点的父节点为红色节点，且其父节点为祖父节点的右分支的情况互为镜像。为此，只需要将其左节点和右节点进行互换即可。

2. 删除:

对于删除操作，其过程类似于普通的二叉搜索树的删除过程，分为以下三种情况：

当删除的元素为叶节点的时候，直接将其进行删除
当删除的元素有一个子节点时，可以将子节点直接移动到被删除元素的位置,代替被删除的元素
被删除节点有两个儿子。那么，先找出它的后继节点；然后把“它的后继节点的内容”复制给“该节点的内容”；之后，删除“它的后继节点”。在这里，后继节点相当于替身，在将后继节点的内容复制给"被删除节点"之后，再将后继节点删除。这样就巧妙的将问题转换为"删除后继节点"的情况了，下面就考虑后继节点。在"被删除节点"有两个非空子节点的情况下，它的后继节点不可能是双子非空。既然"被删除节点的后继节点"不可能双子都非空，就意味着"该节点的后继节点"要么没有儿子，要么只有一个儿子。若没有儿子，则按"情况1 "进行处理；若只有一个儿子，则按"情况2 "进行处理。如图：

元素删除前