K：二叉查找树(BST)
相关介绍:
二叉查找树（英语：Binary Search Tree），也称二叉搜索树、有序二叉树（英语：ordered binary tree），排序二叉树（英语：sorted binary tree），二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低。
二叉查找树的定义：
二叉查找树或者是一棵空树，或者是一棵具有以下性质的二叉树:
-
当左子树不为空，则左子树上所有节点的值均小于根节点的值
-
当右子树不为空，则右子树上所有节点的值均大于根节点的值
-
它的左右子树也都是二叉查找树
下图显示的二叉树便是一棵二叉查找树：
有趣的是，对二叉查找树进行中序遍历，得到的结果，其是一个按照关键字有序的记录序列
二叉查找树的相关知识点：
对于二叉查找树，其主要的方法是查找、插入、删除相关的节点，以下介绍其相关的操作过程及给出相应的代码，在给出相关的操作之前，给出相关节点类的代码描述
二叉查找树的节点类：
/**
* 二叉查找树的相关节点类
* @author 学徒
*
*/
class BinarySearchTreeNode
{
//节点的左子树指针
BinarySearchTreeNode left;
//节点的右子树指针
BinarySearchTreeNode right;
//关键字值
Comparable key;
//该节点的相关数据
Object data;
public BinarySearchTreeNode(BinarySearchTreeNode left,BinarySearchTreeNode right,Comparable key,Object data)
{
this.left=left;
this.right=right;
this.key=key;
this.data=data;
}
public BinarySearchTreeNode(Comparable key,Object data)
{
this(null,null,key,data);
}
}
二叉查找树的查找过程：
若将查找表组织为一棵二叉查找树，则根据二叉查找树的特点，查找过程的主要步骤归纳如下：
- 若查找树为空，则查找失败
- 若查找树非空，则
- 若给定值k等于根节点的关键字值，则查找成功，结束查找过程，否则转步骤2
- 若给定值k小于根节点的关键字值，则继续在根节点的左子树上进行，否则转3
- 若给定值k大于根节点的关键字值，则继续在根节点的右子树上进行
相关代码：
/**
* 二叉查找树的查找操作
* @param data 需要进行查找的相关数据
* @return 查找到的相关的结果，当查找失败时，返回null
*/
public Object search(Comparable key)
{
if(key==null)
{
return null;
}
return toSearch(root,key);
}
/**
* 在二叉查找树中进行递归的查找的方法
* @param data 需要进行查找的数据
* @param node 二叉树中某个子树的根节点
* @return 查找的节点类的结果
*/
private Object toSearch(BinarySearchTreeNode node,Comparable key)
{
if(node==null)
{
return null;
}
//与根节点的相关值进行比较并选择合适的分支
int compara=node.key.compareTo(key);
if(compara==0)
return node.data;
else if(compara<0)
return toSearch(node.right,key);
else
return toSearch(node.left,key);
}
二叉查找树的插入操作：
二叉查找树中，插入一个新节点的过程为，假设待插入节点的关键字值为key，为了将其插入到表中，先要将它放入二叉排序树中进行查找，若查找成功，则按二叉查找树的定义，待插入节点已经存在，不必插入；否则，将新节点插入到表中。因此，新插入的节点一定是作为叶子节点添加到表中去的。其相关示例代码如下：
相关代码：
/**
* 用于往二叉树中插入一个新的节点
* @param key 该节点的关键字
* @param data 该节点的相关数据
* @return 插入的结果，返回false有两种情况，一种是节点本身已存在，一种是需要插入的节点的关键字值为null
*/
public boolean insert(Comparable key,Object data)
{
if(key==null)
return false;
if(root==null)
{
root=new BinarySearchTreeNode(key,data);
return true;
}
else
return insertNode(root,key,data);
}
/**
* 往二叉查找树中插入相关的节点
* @param key 节点的关键字值
* @param data 节点的相关数据
* @param node 需要进行插入的子树的根节点
* @return 插入的结果
*/
public boolean insertNode(BinarySearchTreeNode node,Comparable key,Object data)
{
int compare=key.compareTo(node.key);
//已存在节点时，返回false
if(compare==0)
return false;
//要进行插入的节点比根节点的关键字值小的时候
else if(compare<0)
{
//左子树为空则插入左子树
if(node.left==null)
{
node.left=new BinarySearchTreeNode(key,data);
return true;
}
//非空则继续递归的查找
else
return insertNode(node.left,key,data);
}
else
{
if(node.right==null)
{
node.right=new BinarySearchTreeNode(key,data);
return true;
}
else
return insertNode(node.right,key,data);
}
}
二叉树的删除操作：
与在二叉树上进行插入操作的要求相同，从二叉查找树中删除一个节点，要保证删除后仍然是一棵二叉查找树。根据二叉查找树的结构特征，删除操作可分为4种情况来考虑：
-
若待删除的节点是叶子节点，则直接删除该节点即可。若该节点同时也是根节点，则删除后二叉查找树变为空树
-
若待删除的节点只有左子树，没有右子树，则根据二叉排序树的特点，可以直接将其左子树的根节点替代被删除节点的位置，即若被删除的节点为其双亲节点的左孩子，则将被删除节点的唯一左孩子收为其双亲节点的左孩子；否则收其为双亲节点的右孩子
-
待删除的节点只有右子树，而无左子树。则可以直接将其右子树的根节点替代被删除节点的位置，即若被删除的节点为其双亲节点的左孩子，则将被删除节点的唯一右孩子收其为双亲节点的左孩子；否则收为其双亲节点的右孩子
-
待删除节点既有左子树，又有右子树。根据二叉查找树的特点，可以用被删除节点的中序遍历序列下的前驱节点(或者中序遍历序列下的后继节点)替代被删除节点，同时删除其中序遍历序列下的前驱节点(或中序遍历序列下的后继节点)。而被删除节点(指的是新的删除节点)在中序遍历下的前驱无右子树(被删除节点在中序遍历下的无后继左子树)因而问题转化为情况2或者情况3
以下代码中，当其删除节点的左右子树均存在的时候，考虑的是选择其中序遍历序列下的后继节点替代被删除节点
相关代码：
/**
* 用于删除操作
* @param key 删除的节点的关键字
* @return 返回所删除节点所对应的数据，当不存在关键字时返回null
*/
public Object delete(Comparable key)
{
if(key==null)
return null;
else
return remove(root,key,null);
}
/**
* 用于删除操作所调用的一个方法，在以node为根的二叉查找树中删除关键字值为key的节点，parent为node的父节点，采用递归的方式
* @param node 以此节点为根的二叉树
* @param key 需要进行删除节点的关键字
* @param parent 以node节点为根的二叉树的node节点的父节点
* @return 所删除节点的数据
*/
public Object remove(BinarySearchTreeNode node,Comparable key,BinarySearchTreeNode parent)
{
if(node!=null)
{
int compare =key.compareTo(node.key);
//从左子树中进行删除
if(compare<0)
{
return remove(node.left,key,node);
}
//从右子树中进行删除
else if(compare>0)
{
return remove(node.right,key,node);
}
//当前节点即为要进行删除的节点
else
{
//当前要进行删除的节点的数据
Object result=node.data;
//当前要进行删除的节点的左右子树均存在
if(node.left!=null&&node.right!=null)
{
//寻找要进行删除节点的替换节点
BinarySearchTreeNode innext=node.right;
//进行进行替换的节点的父节点
BinarySearchTreeNode innextParent=node;
//寻找右子树下的最左孩子节点
while(innext.left!=null)
{
innextParent=innext;
innext=innext.left;
}
//改变删除节点的相关数据
node.data=innext.data;
node.key=innext.key;
//递归的从二叉查找树中删除要进行替换的节点
remove(node.right,innext.key,node);
}
//以下考虑的情况均当前删除节点缺少左子树或者右子树的情况
else
{
//当前要进行删除的节点不为根节点的时候
if(parent!=null)
{
//当左子树不为空的时候
if(node.left!=null&&node.right==null)
{
//当前节点为其左子树节点的时候
if(node==parent.left)
{
parent.left=node.left;
}
//当前节点为其右子树节点的时候
else
{
parent.right=node.left;
}
}
//当右子树不为空的时候
else if(node.left==null&&node.right!=null)
{
//当前节点为其左子树节点的时候
if(node==parent.left)
{
parent.left=node.right;
}
//当前节点为其右子树节点的时候
else
{
parent.right=node.right;
}
}
}
//当前删除的节点为根节点的时候
else
{
if(node.left!=null)
root=node.left;
else
root=node.right;
}
}
//返回其进行删除的节点的值
return result;
}
}
return null;
}
其完整代码如下：
package all_in_tree;
/**
* 该类用于演示二叉查找树相关的操作
* @author 学徒
*
*/
public class BinarySearchTree
{
//用于指向一棵二叉查找树的根节点的指针
private BinarySearchTreeNode root;
/**
* 二叉查找树的查找操作
* @param data 需要进行查找的相关数据
* @return 查找到的相关的结果，当查找失败时，返回null
*/
public Object search(Comparable key)
{
if(key==null)
{
return null;
}
return toSearch(root,key);
}
/**
* 在二叉查找树中进行递归的查找的方法
* @param data 需要进行查找的数据
* @param node 二叉树中某个子树的根节点
* @return 查找的节点类的结果
*/
private Object toSearch(BinarySearchTreeNode node,Comparable key)
{
if(node==null)
{
return null;
}
//与根节点的相关值进行比较并选择合适的分支
int compara=node.key.compareTo(key);
if(compara==0)
return node.data;
else if(compara<0)
return toSearch(node.right,key);
else
return toSearch(node.left,key);
}
/**
* 用于往二叉树中插入一个新的节点
* @param key 该节点的关键字
* @param data 该节点的相关数据
* @return 插入的结果，返回false有两种情况，一种是节点本身已存在，一种是需要插入的节点的关键字值为null
*/
public boolean insert(Comparable key,Object data)
{
if(key==null)
return false;
if(root==null)
{
root=new BinarySearchTreeNode(key,data);
return true;
}
else
return insertNode(root,key,data);
}
/**
* 往二叉查找树中插入相关的节点
* @param key 节点的关键字值
* @param data 节点的相关数据
* @param node 需要进行插入的子树的根节点
* @return 插入的结果
*/
public boolean insertNode(BinarySearchTreeNode node,Comparable key,Object data)
{
int compare=key.compareTo(node.key);
//已存在节点时，返回false
if(compare==0)
return false;
//要进行插入的节点比根节点的关键字值小的时候
else if(compare<0)
{
//左子树为空则插入左子树
if(node.left==null)
{
node.left=new BinarySearchTreeNode(key,data);
return true;
}
//非空则继续递归的查找
else
return insertNode(node.left,key,data);
}
else
{
if(node.right==null)
{
node.right=new BinarySearchTreeNode(key,data);
return true;
}
else
return insertNode(node.right,key,data);
}
}
/**
* 用于删除操作
* @param key 删除的节点的关键字
* @return 返回所删除节点所对应的数据，当不存在关键字时返回null
*/
public Object delete(Comparable key)
{
if(key==null)
return null;
else
return remove(root,key,null);
}
/**
* 用于删除操作所调用的一个方法，在以node为根的二叉查找树中删除关键字值为key的节点，parent为node的父节点，采用递归的方式
* @param node 以此节点为根的二叉树
* @param key 需要进行删除节点的关键字
* @param parent 以node节点为根的二叉树的node节点的父节点
* @return 所删除节点的数据
*/
public Object remove(BinarySearchTreeNode node,Comparable key,BinarySearchTreeNode parent)
{
if(node!=null)
{
int compare =key.compareTo(node.key);
//从左子树中进行删除
if(compare<0)
{
return remove(node.left,key,node);
}
//从右子树中进行删除
else if(compare>0)
{
return remove(node.right,key,node);
}
//当前节点即为要进行删除的节点
else
{
//当前要进行删除的节点的数据
Object result=node.data;
//当前要进行删除的节点的左右子树均存在
if(node.left!=null&&node.right!=null)
{
//寻找要进行删除节点的替换节点
BinarySearchTreeNode innext=node.right;
//进行进行替换的节点的父节点
BinarySearchTreeNode innextParent=node;
//寻找右子树下的最左孩子节点
while(innext.left!=null)
{
innextParent=innext;
innext=innext.left;
}
//从二叉查找树中删除该要进行替换的节点即节点innext
innextParent.left=null;
//改变删除节点的相关数据
node.data=innext.data;
node.key=innext.key;
}
//以下考虑的情况均当前删除节点缺少左子树或者右子树的情况
else
{
//当前要进行删除的节点不为根节点的时候
if(parent!=null)
{
//当左子树不为空的时候
if(node.left!=null&&node.right==null)
{
//当前节点为其左子树节点的时候
if(node==parent.left)
{
parent.left=node.left;
}
//当前节点为其右子树节点的时候
else
{
parent.right=node.left;
}
}
//当右子树不为空或者删除节点为叶子节点的时候
else
{
//当前节点为其左子树节点的时候
if(node==parent.left)
{
parent.left=node.right;
}
//当前节点为其右子树节点的时候
else
{
parent.right=node.right;
}
}
}
//当前删除的节点为根节点的时候
else
{
if(node.left!=null)
root=node.left;
else
root=node.right;
}
}
//返回其进行删除的节点的值
return result;
}
}
return null;
}
}
分析：对于二叉查找树，其树结构是在插入和删除节点中动态进行生成的，为此，其查找树的深度依赖于插入节点的顺序。为此，其可能出现如下图所示的一种情况。当插入节点的顺序为有序的时候(节点关键字为有序的)其可能会出现严重“偏拐”的现象而导致其插入和删除的效率均变为O（n）。而平衡二叉树的提出便是为了解决这个问题。详情请点击查看相关博文K：平衡二叉树(AVL)
