K：图相关的最小生成树（MST）
相关介绍:
根据树的特性可知，连通图的生成树是图的极小连通子图，它包含图中的全部顶点，但只有构成一棵树的边；生成树又是图的极大无回路子图，它的边集是关联图中的所有顶点而又没有形成回路的边。
一个有n个顶点的连通图的生成树只有n-1条边。若有n个顶点而少于n-1条边，则是非连通图(将其想成有n个顶点的一条链，则其为连通图的条件是至少有n-1条边)；若多于n-1条边，则一定形成回路。值得注意的是，有n-1条边的生成子图，并不一定是生成树。此处，介绍一个概念。网：指的是边带有权值的图。
在一个网的所有生成树中，权值总和最小的生成树，称之为最小代价生成树，也称为最小生成树。
最小生成树:
根据生成树的定义，具有n个顶点的连通图的生成树，有n个顶点和n-1条边。因此，构造最小生成树的准则有以下3条:
- 只能使用图中的边构造最小生成树
- 当且仅当使用n-1条边来连接图中的n个顶点
- 不能使用产生回路的边
需要注意的一点是，尽管最小生成树一定存在，但其并不一定是唯一的。以下介绍求图的最小生成树的两个典型的算法，分别为克鲁斯卡尔算法(kruskal)和普里姆算法(prim)
克鲁斯卡尔(Kruskal)算法：
克鲁斯卡尔算法是根据边的权值递增的方式，依次找出权值最小的边建立的最小生成树，并且规定每次新增的边，不能造成生成树有回路，直到找到n-1条边为止。
基本思想：设图G=（V,E）是一个具有n个顶点的连通无向网，T=（V,TE）是图的最小生成树，其中V是T的顶点集，TE是T的边集，则构造最小生成树的具体步骤如下：
-
T的初始状态为T=（V,空集），即开始时，最小生成树T是图G的生成零图
-
将图G中的边按照权值从小到大的顺序依次选取，若选取的边未使生成树T形成回路，则加入TE中，否则舍弃，直至TE中包含了n-1条边为止
下图演示克鲁斯卡尔算法的构造最小生成树的过程:
其示意代码如下:
相关代码：
package all_in_tree;
import java.util.Comparator;
import java.util.PriorityQueue;
import java.util.Queue;
import algorithm.PathCompressWeightQuick_Union;
import algorithm.UF;
/**
* 该类用于演示克鲁斯卡尔算法的过程
* @author 学徒
*
*由于每次添加一条边时，需要判断所添加的边是否会产生回路，而回路的产生，当且仅当边上的两个节点处在同一个连通
*分支上，为此，可以使用Union-Find算法来判断边上的两个点是否处在同一个连通分支上
*
*/
public class Kruskal
{
//用于记录节点的数目
private int nodeCount;
//用于判断是否会形成回路
private UF unionFind;
//用优先级队列，每次最先出队的是其权值最小的边
private Queue<Edge> q;
//用于存储图的生成树
private Edge[] tree;
/**
* 初始化一个图的最小生成树所需的数据结构
* @param n 图的节点的数目
*/
public Kruskal(int n)
{
this.nodeCount=n;
tree=new Edge[n-1];
unionFind=new PathCompressWeightQuick_Union(n);
Comparator<Edge> cmp=new Comparator<Edge>()
{
@Override
public int compare(Edge obj1,Edge obj2)
{
int obj1W=obj1.weight;
int obj2W=obj2.weight;
if(obj1W<obj2W)
return -1;
else if(obj1W>obj2W)
return 1;
else
return 0;
}
};
q=new PriorityQueue<Edge>(11,cmp);
}
/**
* 用于添加一条边
* @param edge 所要进行添加的边
*/
public void addEdge(Edge edge)
{
q.add(edge);
}
/**
* 用于生成最小生成树
* @return 最小生成树的边集合
*/
public Edge[] getTree()
{
//用于记录加入图的最小生成树的边的数目
int edgeCount=0;
//用于得到最小生成树
while(!q.isEmpty()&&edgeCount<this.nodeCount-1)
{
//每次取出权值最小的一条边
Edge e=q.poll();
//判断是否产生回路，当其不产生回路时，将其加入到最小生成树中
int index1=unionFind.find(e.node1);
int index2=unionFind.find(e.node2);
if(index1!=index2)
{
tree[edgeCount++]=e;
unionFind.union(e.node1, e.node2);
}
}
return tree;
}
}
/**
* 测试用例所使用的类，该类的测试用例即为上图中中所示的Kruskal算法最小生成树的构造
* 过程的示例图，且其节点编号从0开始，而不从1开始
* @author 学徒
*
*/
class Test
{
public static void main(String[] args)
{
Kruskal k=new Kruskal(6);
k.addEdge(new Edge(0,3,5));
k.addEdge(new Edge(0,1,6));
k.addEdge(new Edge(1,4,3));
k.addEdge(new Edge(4,5,6));
k.addEdge(new Edge(3,5,2));
k.addEdge(new Edge(0,2,1));
k.addEdge(new Edge(1,2,5));
k.addEdge(new Edge(2,4,6));
k.addEdge(new Edge(2,5,4));
k.addEdge(new Edge(2,3,6));
Edge[] tree=k.getTree();
for(Edge e:tree)
{
System.out.println(e.node1+" --> "+e.node2+" : "+e.weight);
}
}
}
/**
* 图的边的数据结构
* @author 学徒
*
*/
class Edge
{
//节点的编号
int node1;
int node2;
//边上的权值
int weight;
public Edge()
{
}
public Edge(int node1,int node2,int weight)
{
this.node1=node1;
this.node2=node2;
this.weight=weight;
}
}
运行结果：
0 --> 2 : 1
3 --> 5 : 2
1 --> 4 : 3
2 --> 5 : 4
1 --> 2 : 5
ps:上述代码中所用到的Union-Find算法的相关代码及解析，请点击 K：Union-Find（并查集）算法 进行查看
分析 :该算法的时间复杂度为O（elge）,即克鲁斯卡尔算法的执行时间主要取决于图的边数e，为此，该算法适用于针对稀疏图的操作
普里姆算法(Prim)：
为描述的方便，在介绍普里姆算法前，给出如下有关距离的定义：
-
两个顶点之间的距离：是指将顶点u邻接到v的关联边的权值，即为|u,v|。若两个顶点之间无边相连，则这两个顶点之间的距离为无穷大
-
顶点到顶点集合之间的距离：顶点u到顶点集合V之间的距离是指顶点u到顶点集合V中所有顶点之间的距离中的最小值，即为|u,V|=\(min|u,v| , v\in V\)
-
两个顶点集合之间的距离：顶点集合U到顶点集合V的距离是指顶点集合U到顶点集合V中所有顶点之间的距离中的最小值，记为|U,V|=\(min|u,V| , u\in U\)
基本思想：假设G=（V,E）是一个具有n个顶点的连通网，T=（V，TE）是网G的最小生成树。其中，V是R的顶点集，TE是T的边集，则最小生成树的构造过程如下:从U={u0},TE=\(\varnothing\)开始，必存在一条边（u，v），u\(\in U\),v\(\in V-U\)，使得|u，v|=|U，V-U|，将（u，v）加入集合TE中，同时将顶点v*加入顶点集U中，直到U=V为止，此时，TE中必有n-1条边(最小生成树存在的情况)，最小生成树T构造完毕。下图演示了使用Prim算法构造最小生成树的过程
其示意代码如下:
相关代码：
package all_in_tree;
/**
* 该类用于演示Prim算法构造最小生成树的过程
* @author 学徒
*
*/
public class Prim
{
//用于记录图中节点的数目
private int nodeCount;
//用于记录图的领接矩阵，其存储对应边之间的权值
private int[][] graph;
//用于记录其对应节点是否已加入集合U中，若加入了集合U中，则其值为true
private boolean[] inU;
//用于记录其生成的最小生成树的边的情况
private Edge[] tree;
//用于记录其下标所对的节点的编号相对于集合U的最小权值边的权值的情况
private int[] min;
//用于记录其下标所对的节点的最小权值边所对应的集合U中的节点的情况
private int[] close;
/**
* 用于初始化
* @param n 节点的数目
*/
public Prim(int n)
{
this.nodeCount=n;
this.graph=new int[n][n];
//初始化的时候，将各点的权值初始化为最大值
for(int i=0;i<n;i++)
{
for(int j=0;j<n;j++)
{
graph[i][j]=Integer.MAX_VALUE;
}
}
this.inU=new boolean[n];
this.tree=new Edge[n-1];
this.min=new int[n];
this.close=new int[n];
}
/**
*用于为图添加一条边
* @param edge 边的封装类
*/
public void addEdge(Edge edge)
{
int node1=edge.node1;
int node2=edge.node2;
int weight=edge.weight;
graph[node1][node2]=weight;
graph[node2][node1]=weight;
}
/**
* 用于获取其图对应的最小生成树的结果
* @return 由最小生成树组成的边的集合
*/
public Edge[] getTree()
{
//用于将第一个节点加入到集合U中
for(int i=1;i<nodeCount;i++)
{
min[i]=graph[0][i];
close[i]=0;
}
inU[0]=true;
//用于循环n-1次，每次循环添加一条边进最小生成树中
for(int i=0;i<nodeCount-1;i++)
{
//用于记录找到的相对于集合U中的节点的最小权值的节点编号
int node=0;
//用于记录其相对于集合U的节点的最小的权值
int mins=Integer.MAX_VALUE;
//用于寻找其相对于集合U中最小权值的边
for(int j=1;j<nodeCount;j++)
{
if(min[j]<mins&&!inU[j])
{
mins=min[j];
node=j;
}
}
//用于记录其边的情况
tree[i]=new Edge(node,close[node],mins);
//修改相关的状态
inU[node]=true;
//修改其相对于集合U的情况
for(int j=1;j<nodeCount;j++)
{
if(!inU[j]&&graph[node][j]<min[j])
{
min[j]=graph[node][j];
close[j]=node;
}
}
}
return tree;
}
}
class Edge
{
//节点的编号
int node1;
int node2;
//边上的权值
int weight;
public Edge()
{
}
public Edge(int node1,int node2,int weight)
{
this.node1=node1;
this.node2=node2;
this.weight=weight;
}
}
/**
* 测试用例所使用的类，该类的测试用例即为上图中中所示的Prim算法最小生成树的构造
* 过程的示例图，且其节点编号从0开始，而不从1开始
* @author 学徒
*
*/
class Test
{
public static void main(String[] args)
{
Prim k=new Prim(6);
k.addEdge(new Edge(0,3,5));
k.addEdge(new Edge(0,1,6));
k.addEdge(new Edge(1,4,3));
k.addEdge(new Edge(4,5,6));
k.addEdge(new Edge(3,5,2));
k.addEdge(new Edge(0,2,1));
k.addEdge(new Edge(1,2,5));
k.addEdge(new Edge(2,4,6));
k.addEdge(new Edge(2,5,4));
k.addEdge(new Edge(2,3,5));
Edge[] tree=k.getTree();
for(Edge e:tree)
{
System.out.println(e.node1+" --> "+e.node2+" : "+e.weight);
}
}
}
运行结果如下:
2 --> 0 : 1
5 --> 2 : 4
3 --> 5 : 2
1 --> 2 : 5
4 --> 1 : 3
总结：kruskal算法的时间复杂度与求解最小生成树的图中的边数有关，而prim算法的时间复杂度与求解最小生成树的图中的节点的数目有关。为此，Kruskal算法更加适用于稀疏图，而prim算法适用于稠密图。当e>=n2时，kruskal算法比prim算法差，但当e=O(n2)时，kruskal算法却比prim算法好得多。
