数论函数及其变换

数论函数及其变换

日常%虞大。

数论函数：定义域为正整数，值域为实数的函数。

积性函数：满足\(f(ab)=f(a)f(b)\ \ \ (a,b)=1\)的数论函数。

完全积性函数：满足\(f(ab)=f(a)f(b)\)的数论函数。

一些数论函数：

• \(\varepsilon(n)\)，当n=1时为1，否则值为0。叫做单位函数。

• \(d(n)\)，表示n的正因数个数，叫做因子个数函数。它是积性函数。

  证明：一定把一个数素因子分解为\(p1^{q1}p2^{q2}...pl^{ql}\)，并且pi各不相同。那么\(d(n)=\Pi (q_i+1)\)。设\(n=ab,(a,b)=1\)，因此a和b也可以表示成素因子分解的形式，并且没有共同的素因子。积性性质是显然的。

• \(\sigma(n)\)，表示n的正因子和，叫做因子和函数。它是积性函数。

  证明：\(\sigma(n)=\Pi(\frac{p_i^{q_1+1}-1}{p_i-1})\)，积性性质也是很显然的。

• \(\varphi(n)\)，表示与n互素且小于n的正整数个数。它是积性函数。

  证明：前面的博文提到过。推出\(\varphi(pq)=pq-p-q-1\)就很好证明了。

• \(\mu(n)=\begin{aligned} 1 && n=1 \\ 0 && 有完全平方因子 \\ (-1)^p && 是p个不同素因子积\\ \end{aligned}\)

  它是积性函数。证明手动推一下即可。

数论函数的值可以用线性筛求出。举一个筛\(φ(n)\)的栗子，其它以此类推。

对于素数p，只会筛到一次，直接令$φ(p) = p - 1 $即可。

对于一个合数n，它只会被筛到一次，只会被最小的素因子p筛到，而且此时大循环到了k，即\(n = pk\)。若此时\(p \mid k\)，说明n中含p的幂大于1。因此，\(φ(n) = φ(k) · p\)，否则，说明\((p, k) = 1\)，从而n中含 p的幂等于1，此时由\(φ\)的积性，可得\(φ(n) = φ(k) · φ(p) = φ(k) · (p - 1)\)。这样，就实现了线性筛求\(φ(n)\)的值。（from 虞大）

莫比乌斯反演

首先，\(\sum_{d|n}\mu(d)=\varepsilon(n)\)。由于如果数n有完全平方因子，那么\(\mu(d)=0\)。因此只需要考虑\(n=p1*p2*...*pl\)的情况。显然\(\sum_{d|n}\mu(d)=\sum_{r=0}^lC_l^r(-1)^r=(1-1)^l=0\)。

莫比乌斯反演是这个柿子：\(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\Leftrightarrow f(n)=\sum_{d|n}F(\frac{n}{d})\mu(d)\)。

我们来用和式变换推一下：\(\sum_{d|n}F(\frac{n}{d})\mu(d)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\frac{n}{d}}f(i)=\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\frac{n}{i}}\mu(d)=f(n)\)

另外，莫比乌斯反演还有一种形式：\(F(n)=\sum_{n|d}f(d)\Leftrightarrow f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d)\)。表示懒得看证明了，就这样吧。