最短路算法合集

最短路算法合集

noip快要考了发现spfa不会打的我决定来总结一下最短路算法。

dijkstra

dijkstra基于最短路的最优子结构性质。设\(s(u, v)\)表示u到v的最短路，若k是它们最短路L上的点，那么\(s(u, k)+s(k, v)=s(u, v)\)（首先\(s(u, k)+s(k, v)>=s(u, v)\)，并且如果\(s(u, k)+s(k, v)>s(u, v)\)，那么u到v的最短路一定不经过k，画个图就明白了）。设源点为S，当前松弛点为P，则\(s(S, P)\)必定对于某一个与P相邻的节点Q满足\(s(S,P)=s(S,Q)+s(Q,P)\)成立。所以算法就成立了（前提是没有负权边，不然曾经的点的最短路就不是真正的最短路， 而整个算法是建立在求出所有点的正确的最短路上的）。注意dijkstra中，由于最多松驰m次，因此最多将堆中点的权值减去m次，用普通堆的复杂度是\(O(mlogm)=O(mlogn)\)，而用斐波那契堆，可以搁置某些减权操作，使得松驰的总时间复杂度变成\(O(nlogn)\)，不过我并不会0.0。

（貌似正确的）程序：

int dis[maxn*2], vis[maxn];
struct cmp{
	bool operator()(int x, int y){
		return dis[x]>dis[y]; }
};
priority_queue<int, vector<int>, cmp> q;
void dijkstra(int src){
	memset(dis, 0x3f, sizeof(dis)); dis[src]=0;
	int u, v; q.push(src);
	for (int i=1; i<=n; ++i){  //出n个点 
		while (vis[u=q.top()]) q.pop(); vis[u]=1;
		for (int j=fir[u]; j; j=e[j].nxt){
			v=e[j].to;
			if (dis[u]+e[j].v<dis[v])
				dis[v]=dis[u]+e[j].v, q.push(v);
		}
	}
}

这样写是错的！这种情况下stl无法正确维护优先队列。所以必须要用\(greater<int>+pair<int, int>\)/\(struct\)。

不过为了更简洁，就这样吧……

spfa

首先要说明bellman-ford算法的正确性。只要\(s(u, k)+s(k, v)>s(u, v)\)成立，那么对所有结点都松弛n次，最短路就一定可以被求出来（最短路的长<=n）。spfa就是只考虑松弛后的结点的一个玄学优化，至于为什么对？！咳咳这是经验公式

floyd

floyd的本质是动态规划，至于为什么把k放在外层，是因为k是动态规划状压的状态。若用\(f[k][i][j]\)表示可以通过1到k中结点的ij最短路路径，\(f[k][i][j]=min(f[k-1][i][j], f[k-1][i][k]+f[k-1][k][j])\)，而最外面一层空间被省略了，因为状态里面有k的通通不会更新。所以能保证正确性。

也可以从矩阵的角度来理解。考虑求点对之间走x步的方案数，其实相当于x个邻接矩阵相乘。

如何证明呢？设现在的情况是走x步的矩阵X和邻接矩阵Y相乘。那么X的第i行第j列，就表示从i到j的方案数。Y的第i行第j列表示从i到j的连通性。那么，新的从i到j的方案数，事实上就是选一个点k多走一步的方案数。因此，X的第i行乘上Y的第j列，表示的就是从i到k再到j的方案数。时间复杂度\(O(n^4)\)

由于floyd要求的是最短路，我们发现可以用矩阵快速幂优化到\(O(n^3\log n)\)！！！欸欸欸，floyd不是\(n^3\)的嘛……

这是因为Floyd只乘了矩阵的第k行，乘了n次。