用Matlab求解微分方程
用Matlab求解微分方程
解微分方程有两种解，一种是解析解，一种是数值解，这两种分别对应不同的解法
解析解
利用dsolve函数进行求解
syms x;
s = dsolve('eq1,eq2,...', ’cond1,cond2,...', 'v');
%eq：微分方程
%cond：条件
%v：独立变量
%形如：方程：y'= f(t,y),初值：y(t0) = y0
1.求解析解
dsolve('Du = 1+ u^2','t')
ans =
tan(C2 + t)
1i
-1i
求 
的解析解
s = dsolve('D2y=3*y+2*x','x');
% D2y用以表示y的二阶导数，默认是以t为自变量的，所以最好指明自变量为x.
syms y(x);
s = dsolve([diff(y,x,2) == 3*y+2*x], [y(0) == 5])
% diff内依次是函数、自变量、微分阶数，方程用==表示相等而不是赋值
2.初值问题
求初值问题
s = dsolve('Dy = y - 2*t / y','y(0) =1');
3.边界问题
求边界问题
s = dsolve('x*D2y - 3*Dy =x^2','y(1)=0','y(5) = 0','x');
4.高阶方程
求解方程
s=dsolve('D2y =cos(2*x) - y','y(0) =1','Dy(0) = 0','x');
simplify(s);
(eqn,cond,‘IgnoreAnalyticConstraints’,false) %设置不化简结果
5.方程组问题
求解方程组 
[f,g]= dsolve('Df = f + g','Dg = -f + g','f(0)=1','g(0) = 2','x');
一些例子
dsolve('D2y+4*Dy+29*y = 0','y(0) = 0','Dy(0)= 15 ','x')
ans =
3*sin(5*x)*exp(-2*x)
[x y z] = dsolve('Dx = 2*x-3*y+3*z','Dy = 4*x-5*y+3*z','Dz = 4*x-4*y+2*z')
x =
C7*exp(2*t) + C8*exp(-t)
y =
C7*exp(2*t) + C8*exp(-t) + C9*exp(-2*t)
z =
C7*exp(2*t) + C9*exp(-2*t)
%可以对其进行简化操作
x = simplify(x)
x = C7*exp(2*t) + C8*exp(-t)
y = simplify(y)
y =exp(-2*t)*(C9 + C8*exp(t) + C7*exp(4*t))
数值解
%龙格库塔法(Runge-Kutta法)
xfun=@(t,x)0.3.*x.*(1-x/8); %定义赋值函数r=0.3,k=8
[tout,xout]=ode45(fun,[0,40],0.1) %方程数值解，四五阶RK法
[tout,xout]=ode23(xfun,[t0,tfinal],x0) %二三阶RK法
%%
ode系列数值求解形如 / = ( , )的微分方程组, 并绘图。
xfun: 输入参数，函数必须恰有t,x两个变量，用函数文件定义的fun.m则用@fun或‘fun’调用。
t0：输入参数，t的初始值。
tfinal：输入参数，t的终值。
x0：输入参数，x的初始值。
tout: 离散的自变量值， xout: 离散的函数值。
%%
同时也有一些其他的求解语句和输出语句
%%
其他的求解语句
ode45 ode113 ode15s
ode23s ode23t ode23tb
其他的输出语句
odeplot odeprint
odephas2 odephas3
%%
一个例子
求
的数值解
首先对该方程进行换元
然后建立m文件
function fyy=rhf(t,x)
fyy=[y(1).*(1-y(2).^2)+y(2);y(1)];
end
最后计算数值解
y0=[0.25,0]’;
[t,y]=ode23(‘rhf’,[0,0.25],y0);
plot(t,y)
一些例子
%vdp1000.m
function dy = vdp1000(t,y)
dy = zeros(2,1);
dy(1) = y(2);
dy(2) = 1000*(1-y^2)*y2-y1;
end
%命令行输入
[T,Y] = ode15s('vdp1000',[0 3000],[2 0]);%第一个参数是文件名，第二个参数是初始时间和终止时间第三个参数是y1和y2的初值
plot(T,Y(:,1),'-');
%结果是T时间
plot(T,Y(:,1),'-k');，画Y数组中的第一列数随着T的变化曲线，‘-k’表示颜色黑色实线，
%定义函数
function dy=eq1(x,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=y(2);
dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)^2)/(1-x);
end
调用
x0=0;
xf=0.9999;
[x,y]=ode15s('eq1',[x0 xf],[0 0]);
plot(x,y(:,1),'-')
hold on
y=0:0．01:2;
plot(1,y,'*')
微分方程模型
1.种群增长Logistic模型
- N(t)表示在时刻 t时刻种群数量
- r 表示种群的内禀增长率，即在没有资源限制下的种群增长率
- K表示环境载量，反映资源环境对种群增长的制约作用
2.生物种群竞争模型
- 用 N1(t)和N2(t) 分别表示在时刻
甲、乙两个种群数量。
- a11 表示种群甲自身的被抑制的情况
- a12 表示种群乙对种群甲的竞争力
