带分数(不懂)
带分数(不懂)
题干
问题描述
100 可以表示为带分数的形式：100 = 3 + 69258 / 714
还可以表示为：100 = 82 + 3546 / 197
注意特征：带分数中，数字 1∼9 分别出现且只出现一次（不包含 0）。
类似这样的带分数，100 有 11 种表示法。
输入格式
一个正整数。
输出格式
输出输入数字用数码 1∼9 不重复不遗漏地组成带分数表示的全部种数。
输入样例1
100
输出样例1
11
输入样例2
105
输出样例2
6
数据范围
1 ≤ N < 106
代码
package aJAVA13;
import java.util.Scanner;
public class _08带分数 {
static int ans;
static int N;
public static void main(String[] args) {
// TODO Auto-generated method stub
Scanner sc = new Scanner(System.in);
N =sc.nextInt();
int[] arr = {1,2,3,4,5,6,7,8,9};
f(arr,0);
System.out.println(ans);
}
//现在确认第几位
private static void f(int arr[],int k){
if(k == 9) {
check(arr);
// print(arr);
return;
}
// 将第i位和第k位交换
for (int i = k; i < arr.length; i++) {
int t = arr[i];
arr[i] = arr[k];
arr[k] = t;
// 移交给下一层去确认第k+1位
f(arr,k+1);
// 回溯
t = arr[i];
arr[i] = arr[k];
arr[k] = t;
}
}
// 枚举加号和除号的位置
public static void check(int [] arr) {
//加号前的字符数最多是7
for (int i = 1; i <= 7; i++) {
int num1 = toInt(arr,0,i);//+前面的一段数值
if(num1>=N)//如果此时加号前的数额已经超过了n，没必要算了
continue;
//除号前面的字符数也至少是一个
for (int j = 1; j <= 9-i-1; j++) {
int num2 = toInt(arr,i,j);
int num3 = toInt(arr,i+j,9-i-j);
if(num2%num3==0&&num1+num2/num3==N) {
ans++;
}
}
}
}
public static void print(int []arr) {
for (int i = 0; i < arr.length; i++) {
System.out.print(arr[i] + " ");
}
System.out.println();
}
private static int toInt(int arr[],int pos,int len) {
int t = 1;
int ans = 0;
for (int i = pos+len-1; i >= pos; i--) {
ans+=arr[i]*t;
t*=10;
}
return ans;
}
}
总结
对题目进行分析，需要满足以下两个条件：
- 数字1~9每个数字都要出现一次，也仅能出现一次
- 三个数中不能有包括0
观察可以知道n的带分数的第一个加数a是从1到n-1，第二个加数由两部分b和c组成b/c；遍历b、c可以用它们的倍数；每次遍历得到的a、b、c都进行个数判断，只有满足个数和为9的条件，再判断是否数字是否都出现仅出现一次，这里我借助了一个长度为9的数组进行计数
补充
发现用全排列的思想，切割着去做更方便，重点就是思考b、c中间的切点，可以巧妙的利用n=a+b/c这个公式，化成b=(n-a)*c，知道n的最后一位数字，a的最后一位数字，c的最后一位数字，就可以判断b的最后一位数字是什么了，再进行满足条件的判断。下面是原文章：
分析：这道题初看起来第一感觉就是用暴力破解应该可以搞定，但是时间复杂度应该会相当可观，仔细观察，会发现这道题无非是全排列的一种运用，把等式定义为：
N=A+B/C ，则ABC组合在一起就是1到9的一个全排列，所以可以把问题转换成对于一个9位数的数字，如何将其划分为A、B、C三部分，使得其满足N=A+B/C（隐含条件:B%C==0）,对于一个9位数可以这样考虑：A是不可能大于N的，所以A的位数只可能是从1位到和N相同位数这个范围，确定了A的位数之后，剩下的就是B和C的总位数，
B数字的开始位置即A数字的下一位，C数字的最后一位就是整个9位数的最后一位，那如何确定B的结束位置呢？
这里有个小技巧，可以大大减少可能性的判断：
假设A的结束位置为 aEnd,则aEnd+1~9就是B和C的位置，在这个位置范围内，B最少占据了一半的数字，否则B/C就不能整除了，所以可以从aEnd+1~9的中间位置开始
确定B的结束位置，这时候可以从中间位置开始向后确定B的结束位置，一直到8的位置，确定了B的结束位置，则A、B、C三个数字的具体值就都可以确定了，判断是否符
合等式N=A+B/C，符合则输出。
以上确定B的结束位置的方法其实不怎么好，因为还是会浪费一些时间（自己模拟下就知道了），不过已经可以在规定的时间内得出答案了。
这里再介绍一种确定B结束位置的方法，可以让性能再提高一些：
观察等式：N=A+B/C，可以转换成==》B=(N-A)*C，N和A确定了(先确定A的结束位置后，再来确定B的结束位置的)，C的最后一个数字确定了(整个9位数最后一位)，即可以确定B最后一个数字了(这里将其定义为BL)，这样可以从以上的aEnd+1~9的中间位置开始找，直到8，当数字为BL时，则判读是否符合等式：N=A+B/C，可以想想，其实这种等于BL的位置至多有一次(因为数字1到9不能重复出现)，所以第一次找到和BL匹配的数字的时候就不用再往后找了。用这种方法，提高的性能还是非常可观的！
import java.util.Scanner;
public class ys_09 {
public static void main(String[] args) {
//将等式定义为：N=A+B/C
Scanner scanner=new Scanner(System.in);
N=scanner.nextInt();
long start=System.currentTimeMillis();
int[] s=new int[]{1,2,3,4,5,6,7,8,9};
NLength=(N+"").length();
allRange(s, 0, s.length-1);
long end=System.currentTimeMillis();
System.out.println("耗时:"+(end-start)+" ms");
System.out.println("总数为:"+kinds+" 种");
}
public static int N;
public static int NLength;//N数字的长度
public static int kinds;
public static void process(int[] s){
String str="";
for(int i=0;i<9;i++) str+=s[i];
int A,B,C,NMA,BC,BMCL,BLastNumber;
//A的位数
for(int i=1;i<=NLength;i++){
/*
//方法1
A=Integer.valueOf(str.substring(0, i));
NMA=N-A;//N减去A的值
if(NMA<=0)return;
BC=9-i;//B和C还有多少为可用
BMCL=(NMA+"").length();//B/C的长度
//确定的B的结束为止
for(int j=i+BC/2;j<=8;j++){//可以优化这里
B=Integer.valueOf(str.substring(i,j));
C=Integer.valueOf(str.substring(j,9));
if(B%C==0&&B/C==NMA){
kinds++;
System.out.println(N+"="+A+"+"+B+"/"+C);
}
}
*/
//方法2
A=Integer.valueOf(str.substring(0, i));
NMA=N-A;
if(NMA<=0)return;
BC=9-i;//B和C总共多少位
BLastNumber=(NMA*s[8])%10;//B最后的数字
//j为B最后一个数字的位置
//B最少占有B和C全部数字的一半，否则B/C不可能为整数
for(int j=i+BC/2-1;j<=7;j++){
//找到符合的位置
if(s[j]==BLastNumber){
B=Integer.valueOf(str.substring(i,j+1));
C=Integer.valueOf(str.substring(j+1,9));
if(B%C==0&&B/C==NMA){
kinds++;
System.out.println(N+"="+A+"+"+B+"/"+C);
}
//符合要求的位置只可能出现一次
break;
}
}
}
}
public static void swap(int[] s,int a,int b){
if(a==b)return;
int tmp=s[a];
s[a]=s[b];
s[b]=tmp;
}
//全排列
public static void allRange(int[] s,int k,int m){
if(k==m){
process(s);
return;
}
else{
for(int i=k;i<=m;i++){
swap(s,k,i);
allRange(s, k+1, m);
swap(s,k,i);
}
}
}
}
1.100 = 3 + 69258 / 714
观察右边 这个分数，发现分子一定是比分母大的，并且一定要整除，否则无法约分出现整数。
问你有多少种的？枚举，合格计数不合格不计数。递归框架求全排列。
2.回溯
平行状态之间切换需要回溯原来的状态，带着记忆的话就会受影响，每一个都是原来的镜像，同级之间切换需要恢复到原来的状态。
3.加号前的字符串最长为7，再多了除号放不开了
除号：
int num2 = toInt(arr,i,j);
int num3 = toInt(arr,i+j,8-i-j);
数组中的多个char元素变为Int
效率:
注：部分转载https://blog.csdn.net/keepthinking_/article/details/8947014
