二维前缀和详解

引入

还是先从例题引入，给你一个二维平面，要求在$\Theta(1)$的时间复杂度内求出一个矩形内数的和。

显然，对于极端情况，二维平面退化成一维，那么我么可以用前缀和数组轻松解决，放在二维平面有该怎么办呢？

我们就要进入一个新的名词：二维前缀和。

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何谓二位前缀和

我们可以感性的将其理解为建立在二维平面上的前缀和，如下图：

红色区域所有数的和即为二维前缀和中点$(i,j)$的值。

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如何预处理

类比一维前缀和，我们可以在$\Theta(n)$的时间复杂度下预处理，如下代码：

a[i]+=a[i-1];

那么对于二维前缀和，我们怎么预处理呢？

先给出算式：

Map[i][j]+=Map[i-1][j]+Map[i][j-1]-Map[i-1][j-1]; 

类比一维前缀和，因为我们从左到右在计算$a[i]$的时候已经知道了$a[i-1]$的值，所以同理，我们从左上向右下在计算$Map[i][j]$的时候已经知道了它右上所有点的前缀和，也就是知道了$Map[i-1][j]$、$Map[i][j-1]$和$Map[i-1][j-1]$的值，那么现在考虑为什么要做如上的运算。

其中，$Map[i][j]$的初始值即为点$(i,j)$的权值，如图：

那么现在，我们要求前缀和，也就是要加上下图中橙色区域：

而我们加上的$Map[i-1][j]$即为下图蓝色区域：

加上的$Map[i][j-1]$即为下图绿色区域：

然后我们会发现，有一部分重叠了，如下图紫色区域：

而这部分就是我们要减去的$Map[i-1][j-1]$。

那么我们的预处理就完成了。

时间复杂度：$\Theta(n\times m)$，与一维中的$\Theta(n)$预处理同理。

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如何查询

依然是类比一维前缀和，对于查询区间$(l,r)$的值，我们可以用如下代码进行$\Theta(1)$的查询：

sum=a[r]-a[l-1];

也就是说，用右端点的前缀和值减去左端点$-1$的前缀和值即得到了区间$(l,r)$的和，如下图：

那么对于二维前缀和，我们有应该怎么办呢？

对于计算矩形$(x1,y1)\sim (x2,y2)$的和，先给出如下算式：

sum=Map[x2][y2]-Map[x1-1][y2]-Map[x2][y1-1]+Map[x1-1][y1-1];

下面来理解算式：

现在我们要求下图中红色区域的权值和：

而我们已经预处理好了前缀和，但是我们还不直接知道矩形$(x1,y1)\sim (x2,y2)$的权值和，那么我们考虑怎么减去那部分。

我们已经知道了$Map[x2][y2]$，而我们需要减去下图中橙色区域：

那么我们先减去$Map[x1-1][y2]$，也就是下图中蓝色区域：

然后再减去$Map[x2][y1-1]$，也就是下图中绿色区域：

然后，我们发现我们多减去了一部分，要把它加回来，而这部分就是$Map[x1-1][y1-1]$，如下图紫色部分：

这样，我们就成功的得到了需要求和的部分的值。

时间复杂度：$\Theta(1)$，与一维前缀和的$\Theta(1)$同理。

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例题

那么现在对于二维前缀和的讲解就结束了，下面推荐几道我觉得不错的考察二维前缀和的题，大概$NOIP$难度：

$\alpha.$任(duty)。

还在完善……

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