poj1061-青蛙的约会(扩展欧几里德算法)
一,题意:
两个青蛙在赤道上跳跃,走环路。起始位置分别为x,y。
每次跳跃距离分别为m,n。赤道长度为L。两青蛙跳跃方向与次数相同的情况下,
问两青蛙是否有方法跳跃到同一点。输出最少跳跃次数。
二,思路:
本题用到扩展欧几里德算法求二元一次不定式方程(ax+by=c)。
1,化简方程,然后求解 ax+by = gcd(a,b);
2,求解 ax+by = c;
3,求出最小非负整数解x1
三,步骤:
1,设青蛙跳了s步。
则有方程 (x + m*s) - (y + n*s) = l*k --> (n - m)*s + l*k = x - y
令 a = n - m , b = l , x' = s , y' = k , c = x - y ; d = gcd(a,b);
所以方程化为 a*x' + b*y' = c ;
2,先利用扩展欧几里德算法求解方程 a*x' + b*y' = gcd(a,b);
3,利用方程 a*x' + b*y' = gcd(a,b) 的解 x0 以及公式 x = x0*c/d 求出 a*x' + b*y' = c 的解 x1 ; 前提是:d|c ( c 能被 d 整除 );
4,利用周期性变化求最小的非负整数解 公式: x1 = ( x1%(b/d) + (b/d) ) % (b/d);
若方程的a*x' + b*y' = c的一组整数解为(x1,y1),则它的任意整数解为 ( x1 + k* ( b/d ) , y1 - k*( a/d ) ) ( k 取任意整数 ) , T = b/d 就为 x1 增长的周期
i,若x1为负值,取最大的非正值:x1 = x1 % T ;若x1为正值,以下两步无影响。
ii,取正, x1 = x1 + T ;
iii, 防止 i中的x1=0 即 ii中的x1 = T ,那么 x1 = x1 % T ;
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1 #include<iostream> 2 using namespace std ; 3 4 //扩展欧几里德算法 : 用来求解 a*x+b*y=gcd(a,b) 方程x,y可能的值 5 void exgcd(long long a,long long b,long long& d,long long& x,long long& y){ //int& a 表示传入a的地址 6 if(!b){d=a;x=1;y=0;} // d用来存储gcd(a,b)的值 7 else {exgcd(b,a%b,d,y,x);y-=x*(a/b);} 8 } 9 10 int main(){ 11 long long minx,x,y,m,n,l,d,x1,y1,T; 12 cin>>x>>y>>m>>n>>l; 13 exgcd(n-m,l,d,x1,y1); //(n-m)*s+l*k = gcd(n-m,l) ==> x1=s y1=k; 14 if((x-y)%d!=0) cout<<"Impossible\n"; //方程有解的条件是:x-y 能被 gcd(n-m,l) 整除 15 else{ 16 x1=x1*((x-y)/d); //思路2中方程 a*x1 + b*y1 = c 的解 x1 ; 17 T=l/d; //x的增长周期 T 18 x1=(x1%T+T)%T;//求出最小非负整数解 19 cout<<x1<<endl; 20 } 21 return 0; 22 }
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