主定理速记

主定理速记

主定理用于分析分治复杂度。

$$T(n) = aT(\frac{n}{b}))+f(n)$$

$T(n)$ 表示时间复杂度

$n$ 表示问题规模

$a$ 表示划分后子问题个数

$\frac{n}{b}$ 表示子问题规模，上下取整不影响复杂度分析

$f(n)$ 表示分治过程中“分”和“合并”这两步的时间开销

$f(n)$ 的举例：

比如归并排序，合并需要扫整个数组，所以 $f(n)=O(n)$

而二分，合并仅需要对两个元素比较，所以 $f(n) = O(1)$

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基于上式，引入 基准函数 $\Theta(n^{log_{b}a})$ 。比较和 $f(n)$ 的大小。有下面三种情况。

1. 若存在实数 $\varepsilon >0$ ，使得 $f(n) = O(n^{log_{b}a - \varepsilon})$。则 $T(n) =O(n^{log_{b}a})$。

2. 若 $f(n) = O(n^{log_{b}a})$ ，则 $T(n) = O(log_{b}{a}~ log{n})$。

3. 若存在实数 $\varepsilon >0$ ，使得 $f(n) = O(n^{log_{b}a + \varepsilon})$，且 $af(\frac{n}{b}) \le cf(n),c<1$ 。则 $T(n) = O(f(n))$。

这三种情况实际上就是和基准函数在渐进意义上的比大小。

case3需要额外判断 $af(\frac{n}{b}) \le cf(n)，c< 1$。

具体算例和详细表述参考(112条消息) 主定理_Debroon的博客-CSDN博客_主定理