CF1552D（思维，构造）

CF1552D（思维，构造）

题意

给一个序列 $a$。问能不能构造一个 $b$ 使得 $b_i + b_j = a_k$ 对所有的 $1 \le k \le n$ 成立。

思路

一开始瞎写了一个这样的构造方案：$b = (x,x+a_2,x+a_3,...,x+a_n)$ 。显然现在如果能把 $a_1$ 搞出来就行了。然后减一减，就有 $b_i-b_j = a_{i+1}-a_{j+1}=a_1$ 。之后枚举一下感觉就行了，然后发现样例都寄了··

上面的构造法肯定是没问题的，也就是这只是一个必要条件。之后又想了一个新构造：$b = (x,x+a_2,x+a_2+a_3,...,x+a_2+a_3...+a_n)$ 。和上面的构造起到了一样的效果。

之后，猜了一个结论：如果 $s_1+x - (x+s_2) =s_1-s_2= a_i$ 成立就一定有解，其中 $s_1,s_2$ 是 $a$ 中随便的一些数的和。把上面式子变形，$a_i$ 也可以扔到和式里，因此找序列中是否有两个值相同的和。这个二进制枚举搞搞。

之后也确实AC了。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<set>
#include<queue>
#include<map>
#include<stack>
#include<string>
#include<random>
#include<iomanip>
#define yes puts("yes");
#define inf 0x3f3f3f3f
#define ll long long
#define linf 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define ull unsigned long long
#define endl '\n'
#define int long long
#define rep(i,a,n) for(int i = a;i <= n;i++)
#define per(i,n,a) for(int i = n;i >= a;i--)
using namespace std;
mt19937 mrand(random_device{}());
int rnd(int x) { return mrand() % x;}
typedef pair<int,int> PII;
const int MAXN =10 + 2e5 ,mod=1e9 + 7;

void solve()
{    
    int n; cin >> n;
    vector<int> a(n);
    rep(i,1,n) cin >> a[i - 1];
    set<ll> s;
    for(int i = 0;i < 1ll << n;i ++) {
        ll sum = 0;
        for(int j = 0;j < n;j ++) 
            if(i >> j & 1) sum += a[j];
        s.insert(sum);
    }
    cout << ((int)s.size() != (1 << n) ? "YES\n" : "NO\n");
}
signed main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);

    int T;cin>>T;
    while(T--)
        solve();

    return 0;
}

之后看了看题解，由于已经确定了 $n-1$ 个数字，因此如果一个数能被其他数字表示出来，那就一定有解 这句话就很好解释结论的正确性。

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官方题解给了一种建边的思考方向，将 $b_i-b_j$ 看成一条边 $(i,j)$ 。要表示 $n$ 个数字，则这个构造出的图一定有环。考虑这个环，按连边定义来看，这个环转一圈的权值和为 $0$ 。这就是有解的必要条件。至于充分性，不在环上的边不讨论，环上边如果能通过构造一组解使得其和为0，设环边数 $k$ ，此时还有 $n-k$ 条边，让其他点和环上任意点连接即可构造成功。