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# 扫描线 扫描线一般运用在图形上面，它和它的字面意思非常相似，就是拿一根线，在图形上面扫来扫去。我们一般用它来解决图形的面积，周长，二位数点等问题。 ## Atlantis 问题 在二维坐标系上，给出多个矩形的左下以及右上坐标，求出所有矩形构成的图形的面积。 我们当然知道，如果数据范围很小，我们可 阅读全文
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# 二维计算几何基础 ## 前置 * 基本的几何知识 * 平面直角坐标系 * 向量 ## 极坐标与极坐标系 我们在做题的时候会遇到说“点 $B$ 在点 $A$ 北偏东 $30^{\circ}$ 方向上，距离 $100$ 米”之类的，实际情况也是如此，而不是用“以 $A$ 为原点建立平面直角坐标系，$ 阅读全文
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# 模拟退火 模拟退火是一种随机化算法，当一个问题的方案数极大（甚至是无穷的）而且不是一个单峰函数的时候，我们可以考虑用模拟退火来解决，当然这只能给我们骗更多的分，想通过的话有一定的难度。 ## 优点 根据爬山算法的过程，我们发现，爬山算法只能看到当前的最优解，而如果后面又有更优的解，爬山算法是找不 阅读全文
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# 凸包 ## 二维凸包 凸多边形是指所有内角大小都在 $\left[ 0,\pi \right]$ 范围内的简单多边形。 凸包就是指在平面内能包含所有给定点的最小凸多边形叫做凸包。 可以以下面的例子来形象理解一下。 下面是一堆木桩，农夫约翰想要围成一个围栏，需要保证所有的木桩都在围栏内，但是约翰想 阅读全文
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# 中国剩余定理 ## 定义 中国剩余定理（CRT）可以求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 $n_{1},n_{2},\dots,n_{k}$ 两两互质） $$ \left\{\begin{matrix} x\equiv a_{1}\pmod{n_{1}}\\ x\equiv a_{2}\pmo 阅读全文
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# 斐波那契数列 斐波那契数列是我们较为熟悉的一类数列了，在学习递归和递推的时候我们就已经能求解 $n$ 较小的情况了；斐波那契数列的定义如下： $$ \left\{\begin{matrix} F_{n}=0& n=0\\ F_{n}=1& n=1\\ F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2}& 阅读全文
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# 行列式 行列式，是方阵的一种运算，对于方阵 $A$，$\text{det}A$ 表示方阵 $A$ 的行列式。 前置知识：置换，逆序数，初等变换 逆序数就是一个数列里逆序对的总数。 ## 定义 手动计算较低阶的行列式可以采用这种方法，它的时间复杂度为阶乘量级。 使用记号 $\pi(j_{1},j_ 阅读全文
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# 矩阵 ## 向量与矩阵 在线性代数中，向量分为列向量和行向量。 向量也是特殊的矩阵，行向量可以看作是一个 $1\times n$ 的矩阵，例如下面这样： $$ \begin{bmatrix} 1&2&3&4&5 \end{bmatrix} $$ 列向量可以看作是一个 $n\times 1$ 的矩 阅读全文
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## 抽屉原理 或者说是鸽巢原理 它常用于证明存在性证明和求最坏情况下的解 将 $n+1$ 个物体，划分为 $n$ 组，那么有至少一组有两个及以上的物体 ~~显然好吧~~ 假设每一个分组有至多一个物体，那么最多有 $1\times n$ 个物体，而实际上我们是放了 $n+1$ 个物体，显然需要把多出 阅读全文
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## 欧拉定理 内容：若正整数 $a$，$n$，互质，则 $a^{\varphi (n)}\equiv 1 \pmod{n}$。 证明：设 $X_{1}$,$X_{2}$......$X_{\varphi(n)}$ 是 $1\sim n$ 与 $n$ 互质的数。 首先我们来考虑一些数：$aX_{1} 阅读全文