浅谈最长公共子序列

最长公共子序列

定义#

最长公共子序列（LCS）是一个在一个序列集合中（通常为两个序列）用来查找所有序列中最长子序列的问题。
——维基百科

这里的子序列，是可以不连续的。

比如：

1 2 3 1 2 4 2

3 2 1 5 2 1 2

他们的最长公共子序列就是 2 1 2 2。

也就是从两个序列，分别按顺序从左到右挑出一些元素形成两个新的序列使得两个序列相同，LCS 就是长度最大的那个。

LCS 不一定是唯一的。

求解#

模板题

考虑使用动态规划来解决问题。

我们设 $f[i][j]$ 表示第一个序列前 $i$ 个元素与第二个序列前 $j$ 个元素的 LCS 长度。

那么我们就可以得到以下转移方程：

如果 $a[i]=b[j]$ 的话：

$$f[i][j]=1+f[i][j]$$

如果 $a[i]\ne b[j]$ 的话：

$$f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i][j-1])$$

时间空间复杂度都是 $O(nm)$ 的。

于是得到以下的 code：

Copy
/*
 * @Author: Aisaka_Taiga
 * @Date: 2023-09-11 17:05:34
 * @LastEditTime: 2023-09-11 17:09:52
 * @LastEditors: Aisaka_Taiga
 * @FilePath: \Desktop\P439.cpp
 * 心比天高，命比纸薄。
 */
#include <bits/stdc++.h>

#define int long long
#define N 5010

using namespace std;

int n, f[N][N], a[N], b[N], ans;

signed main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> a[i];
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> b[i];
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
        {
            if(a[i] == b[j]) f[i][j] = 1 + f[i - 1][j - 1];
            else f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i][j - 1]);
            ans = max(ans, f[i][j]);
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}

这个代码太垃圾了所以模板题只有 50 分。