高等数学——求导法则

求导法则

和差积商

\[[u(x)\pm v(x)]'=u'(x)\pm v'(x) \]

\[[u(x)\cdot v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x) \]

\[[\frac{u(x)}{v(x)}]=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^{2}(x)}(v(x)\ne 0) \]

\[[u(x)v(x)w(x)]'=u(x)'v(x)w(x)+u(x)v(x)'w(x)+u(x)v(x)w(x)' \]

反函数的求导法则

定理：如果函数 \(x=f(y)\) 在区间 \(I_{y}\) 内单调，可导且 \(f'(y)\ne 0\)，反函数 \(y=f^{-1}(x)\)，则：

\[[f^{-1}(x)]'\frac{1}{f'(y)}\text{或}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}} \]

反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

\[(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \]

\[(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \]

\[(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^{2}} \]

\[(\operatorname{arccot} x)'=-\frac{1}{1+x^{2}} \]

复合函数的求导法则

定理：

如果 \(u=g(x)\) 可导，\(y=f(u)\) 在 \(u\) 处可导，则 \(y=f[g(x)]\) 可导。

\[\frac{dy}{dx}=f'(u)g'(x) \]

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dx} \]

如果：\(y=f(u),u=g(t),t=h(x)\)，则：

\[\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot\frac{du}{dt}\cdot\frac{dt}{dx} \]

洋葱法则：从外及里，一层一层求导累加。

例子：

\[y=\ln \sin x=\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x=\arctan x \]

\[y=(1-2^{2})^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}(1-2x^{2})^{-\frac{2}{3}}(-4x) \]

\[y=\ln \cos(e^{x})=\frac{-1}{\cos(e^{x})}\cdot\sin(e^{x})\cdot e^x{} \]

\[y = e^{\sin\frac{1}{x}}=e^{\sin\frac{1}{x}}\cdot\cos\frac{1}{x}\cdot(-\frac{1}{x^{2}}) \]