高等数学——求导法则

求导法则

和差积商#

$$[u(x)\pm v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)\pm v^{\prime }(x)$$

$$[u(x)\cdot v(x){]}^{\prime }=u^{\prime }(x)v(x)+u(x)v^{\prime }(x)$$

$$[\frac{u(x)}{v(x)}]=\frac{u^{\prime }(x)v(x)-u(x)v^{\prime }(x)}{v^2(x)}(v(x)\ne 0)$$

$$[u(x)v(x)w(x){]}^{\prime }=u(x{)}^{\prime }v(x)w(x)+u(x)v(x{)}^{\prime }w(x)+u(x)v(x)w(x{)}^{\prime }$$

反函数的求导法则#

定理：如果函数 $x=f(y)$ 在区间 $I_y$ 内单调，可导且 $f^{\prime }(y)\ne 0$，反函数 $y=f^{-1}(x)$，则：

$$[f^{-1}(x){]}^{\prime }\frac{1}{f^{\prime }(y)}\text{或}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$$

反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

$$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

$$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$$

$$(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}$$

复合函数的求导法则#

定理：

如果 $u=g(x)$ 可导，$y=f(u)$ 在 $u$ 处可导，则 $y=f[g(x)]$ 可导。

$$\frac{dy}{dx}=f^{\prime }(u)g^{\prime }(x)$$

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}$$

如果：$y=f(u),u=g(t),t=h(x)$，则：

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}$$

洋葱法则：从外及里，一层一层求导累加。

例子：

$$y=\ln \sin x=\frac{1}{\sin x}\cdot \cos x=\arctan x$$

$$y=(1-2^2{)}^{\frac{1}{3}}=\frac{1}{3}(1-2x^2{)}^{-\frac{2}{3}}(-4x)$$

$$y=\ln \cos (e^x)=\frac{-1}{\cos (e^x)}\cdot \sin (e^x)\cdot e^x$$

$$y=e^{\sin \frac{1}{x}}=e^{\sin \frac{1}{x}}\cdot \cos \frac{1}{x}\cdot (-\frac{1}{x^2})$$