高等数学——导数几何意义，可导性与连续性

导数的几何含义

可导的几何含义：图像光滑（图像切线不能垂直于 \(x\) 轴）。

因为带尖的左右求导不相等。

导数的几何含义：

某一点的导数就是过这个点与函数图像相切的直线的斜率。

\(f'(x_{0})=\tan \alpha\).

设 \(M(x_{0},y_{0})\) 切线方程 \(y-y_{0}=f'(x_{0})(x-x_{0})\)。

法线：与切线垂直的线，其斜率与切线的斜率相乘为 \(-1\)。

法线方程：\(y-y_{0}=-\frac{1}{f'(x_{0})}(x-x_{0})\).

可导与连续的关系

可导一定连续，连续不一定可导。

连续：

\[\lim_{\Delta x\to 0} \Delta y= 0 \]

可导：

\[\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\text{存在} \]