高等数学——导数几何意义，可导性与连续性

导数的几何含义

可导的几何含义：图像光滑（图像切线不能垂直于 $x$ 轴）。

因为带尖的左右求导不相等。

导数的几何含义：

某一点的导数就是过这个点与函数图像相切的直线的斜率。

$f^{\prime }(x_0)=\tan \alpha$.

设 $M(x_0,y_0)$ 切线方程 $y-y_0=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$。

法线：与切线垂直的线，其斜率与切线的斜率相乘为 $-1$。

法线方程：$y-y_0=-\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}(x-x_0)$.

可导与连续的关系#

可导一定连续，连续不一定可导。

连续：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=0$$

可导：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }y}{\mathrm{\Delta }x}\text{存在}$$