高等数学——闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数的性质

\(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上有定义，若：

• \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内处处连续。

• \(f(a)=f(a+0),f(b)=f(b+0)\)（在右端点左连续，在左端点右连续）

则称 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上连续，记为：\(f(x)\in c[a,b]\)

定理1：（最值定理）设 \(f(x)\in c[a,b]\)，则 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上取到最小值 \(m\) 和最大值 \(M\).即 \(\exists x_{\min},x_{\max}\in[a,b]\)，使 \(f(x_{\min})=m,f(x_{\max})=M\).

定理2：设 \(f(x)\in c[a,b]\) 则 \(\exists k>0\)，使 \(\forall x\in [a,b]\)，有 \(|f(x)|\le k\)。

定理3：（零点定理）设 \(f(x)\in c[a,b]\)，如果 \(f(a)\times f(b)<0\)，则 \(\exists c\in (a,b)\)，使 \(f(c) = 0\)。

介值：\([m,M]\) 上的任意一点称为介值。

\(\forall \eta\in [m,M],\exists \xi\in [a,b]\)，使 \(f(\xi)=\eta\) ，若 \(f(x)\in c[a,b]\)，则 \(m\) 与 \(M\) 之间任一值皆可被 \(f(x)\) 取到。

定理4（介值定理）：设 \(f(x)\in c[a,b]\)，则 \(\forall\eta\in [m,M]\)，\(\exists\xi\in [a,b]\)，使 \(f(\xi)=\eta\)。

（即介于 \(m\) 和 \(M\) 之间的值都可以被 \(f(x)\) 取到）。

• \(f(x)\in c[a,b],\exists c\in (a,b)\dots\) 一般使用零点定理。

• \(f(x)\in c[a,b],\exists \xi\in [a,b]\)，数值之和等用 介值定理。