高等数学——闭区间上连续函数的性质

闭区间上连续函数的性质

$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有定义，若：

• $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内处处连续。

• $f(a)=f(a+0),f(b)=f(b+0)$（在右端点左连续，在左端点右连续）

则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，记为：$f(x)\in c[a,b]$

定理1：（最值定理）设 $f(x)\in c[a,b]$，则 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上取到最小值 $m$ 和最大值 $M$.即 $\mathrm{\exists }{x}_{min},x_{max}\in [a,b]$，使 $f(x_{min})=m,f(x_{max})=M$.

定理2：设 $f(x)\in c[a,b]$ 则 $\mathrm{\exists }k>0$，使 $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$，有 $|f(x)|\le k$。

定理3：（零点定理）设 $f(x)\in c[a,b]$，如果 $f(a)\times f(b)<0$，则 $\mathrm{\exists }c\in (a,b)$，使 $f(c)=0$。

介值：$[m,M]$ 上的任意一点称为介值。

$\mathrm{\forall }\eta \in [m,M],\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$，使 $f(\xi )=\eta$ ，若 $f(x)\in c[a,b]$，则 $m$ 与 $M$ 之间任一值皆可被 $f(x)$ 取到。

定理4（介值定理）：设 $f(x)\in c[a,b]$，则 $\mathrm{\forall }\eta \in [m,M]$，$\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$，使 $f(\xi )=\eta$。

（即介于 $m$ 和 $M$ 之间的值都可以被 $f(x)$ 取到）。

• $f(x)\in c[a,b],\mathrm{\exists }c\in (a,b)\dots$ 一般使用零点定理。

• $f(x)\in c[a,b],\mathrm{\exists }\xi \in [a,b]$，数值之和等用 介值定理。