高等数学——连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的运算#

四则运算#

定理1：设 $f(x),g(x)$ 在 $x=x_0$ 处是连续的，则:

• $f(x)\pm g(x)$ 在 $x=x_0$ 连续。

• $f(x)\cdot g(x)$ 在 $x=x_0$ 连续。

• 如果 $g(x)\ne 0$，则 $\frac{f(x)}{g(x)}$ 在 $x=x_0$ 连续。

复合运算#

定理2：$y=f(u),u=\phi (x),\phi (x)\ne a$，若 $\underset{u\to a}{lim}f(u)=A$，$\underset{x\to x_0}{lim}\phi (x)=a$，则：$\underset{x\to x_0}{lim}f[\phi (x)]=A$。

定理3：$y=f(u),u=\phi (x),\phi (x)\ne a$，若 $\underset{u\to a}{lim}f(u)=f(a)$,$\underset{x\to x_0}{lim}\phi (x)=a$，则：$\underset{x\to x_0}{lim}f[\phi (x)]=f(a)$，即：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f[\phi (x)]=f[\underset{x\to x_0}{lim}\phi (x)]=f(a)$$

初等函数的连续性#

基本初等函数：

幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。

初等函数：由常数，基本初等函数经过四则运算和复合运算得到的函数。

结论：

• 基本初等函数在其定义域内是连续的。

• 初等函数在其定义区间内是连续的。