高等数学——连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的运算与初等函数的连续性

连续函数的运算

四则运算

定理1：设 \(f(x),g(x)\) 在 \(x=x_{0}\) 处是连续的，则:

• \(f(x)\pm g(x)\) 在 \(x=x_{0}\) 连续。

• \(f(x)\cdot g(x)\) 在 \(x=x_{0}\) 连续。

• 如果 \(g(x)\ne 0\)，则 \(\frac{f(x)}{g(x)}\) 在 \(x=x_{0}\) 连续。

复合运算

定理2：\(y= f(u),u= \varphi(x),\varphi(x)\ne a\)，若 \(\lim_{u\to a}f(u)=A\)，\(\lim_{x\to x_{0}}\varphi(x)=a\)，则：\(\lim_{x\to x_{0}}f[\varphi(x)]=A\)。

定理3：\(y= f(u),u=\varphi(x),\varphi(x)\ne a\)，若 \(\lim_{u\to a}f(u) =f(a)\),\(\lim_{x\to x_{0}}\varphi(x)=a\)，则：\(\lim_{x\to x_{0}}f[\varphi(x)]=f(a)\)，即：

\[\lim_{x\to x_{0}}f[\varphi(x)]=f[\lim_{x\to x_{0}}\varphi(x)]=f(a) \]

初等函数的连续性

基本初等函数：

幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数。

初等函数：由常数，基本初等函数经过四则运算和复合运算得到的函数。

结论：

• 基本初等函数在其定义域内是连续的。

• 初等函数在其定义区间内是连续的。