あいさか たいがblogAisaka_Taiga的博客
//https://img2018.cnblogs.com/blog/1646268/201908/1646268-20190806114008215-138720377.jpg

高等数学——函数的连续性和间断点

高等数学——函数的连续性和间断点

函数的连续性

增量:设变量 u 从他的一个初值 u1 变到终值 u2,终值与初值的差 u2u1 就叫做变量 u 的增量。

Δu=u2u1

增量可正可负。

函数 f(x)x 的变化:

Δy=f(x0+Δx)f(x0)

增量都是变化以后的减去变化以前的。

定义: 设函数 y=f(x) 在点 x0 的某一领域内有定义,如果:

limΔx0Δy=limΔx0[f(x0+Δx)f(x0)]=0

那么就称函数 y=f(x) 在点 x0 连续。

设函数 y=f(x) 在点 x0 的某一领域内有定义,如果:

limxx0f(x)=f(x0)

那么就称函数 f(x) 在点 x0 连续。

连续满足以下条件:

  • x0 处有极限

  • x0 处有定义

  • 极限值等于函数值

左连续:

如果 limxx0f(x)=f(x0) 存在且等于 f(0),即:

f(x0)=f(x0)

那么就说函数 f(x) 在点 x0 左连续。

右连续:

如果 limxx0+f(x)=f(x0+) 存在且等于 f(0),即:

f(x0+)=f(x0)

那么就说函数 f(x) 在点 x0 右连续。

连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线。

插曲:三角函数公式:

cos(a+b)=cosacosbsinasinb

cos(ab)=cosacosb+sinasinb

sinacosb=12[sin(a+b)+sin(ab)]

cosacosb=12[cos(a+b)+cos(ab)]

sinasinb=12[cos(a+b)cos(ab)]

sina+sinb=2sina+b2cosab2

cosa+cosb=2cosa+b2cosab2

cosacosb=2sina+b2sinab2

函数的间断点

满足三个条件之一即可:

  • x0 处无定义

  • limxx0f(x) 不存在

  • limxx0f(x)f(x0)

上面三个条件层层递进,满足第一条再判断第二条。

慢足以上三个条件之一的就说函数 f(x) 在点 x0 为不连续,而点 x0 称为函数 f(x) 的不连续点或间断点。

limxπ2tanx=

x=π2 为函数 tanx 的无穷间断点。

因为 y=sin1xx0 的时候无限变动多次,所以点 x=0 称为函数 sin1x 的振荡间断点。

y=x21x1x=1 时没有定义,这个间断点被称为可去间断点。

f(x)={x1x<00x=0x+1x>0

这种图像具有跳跃性的,称 x=0 是函数 f(x) 的跳跃间断点。

第一类间断点:左右极限都存在,可去间断点,跳跃间断点。

第二类间断点:左右极限至少一个不存在的间断点,震荡间断点,无穷间断点。

posted @   北烛青澜  阅读(111)  评论(0编辑  收藏  举报
编辑推荐:
· go语言实现终端里的倒计时
· 如何编写易于单元测试的代码
· 10年+ .NET Coder 心语,封装的思维:从隐藏、稳定开始理解其本质意义
· .NET Core 中如何实现缓存的预热?
· 从 HTTP 原因短语缺失研究 HTTP/2 和 HTTP/3 的设计差异
阅读排行:
· 分享一个免费、快速、无限量使用的满血 DeepSeek R1 模型,支持深度思考和联网搜索!
· 基于 Docker 搭建 FRP 内网穿透开源项目(很简单哒)
· ollama系列1:轻松3步本地部署deepseek,普通电脑可用
· 按钮权限的设计及实现
· 25岁的心里话
点击右上角即可分享
微信分享提示