高等数学——函数的连续性和间断点

函数的连续性

增量：设变量 \(u\) 从他的一个初值 \(u_{1}\) 变到终值 \(u_{2}\)，终值与初值的差 \(u_{2}-u_{1}\) 就叫做变量 \(u\) 的增量。

\[\Delta u=u_{2}-u_{1} \]

增量可正可负。

函数 \(f(x)\) 随 \(x\) 的变化：

\[\Delta y= f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0}) \]

增量都是变化以后的减去变化以前的。

定义： 设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某一领域内有定义，如果：

\[\lim_{\Delta x\to 0}\Delta y=\lim_{\Delta x\to 0}[f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})]=0 \]

那么就称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 连续。

设函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某一领域内有定义，如果：

\[\lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}) \]

那么就称函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 连续。

连续满足以下条件：

• 在 \(x_{0}\) 处有极限

• 在 \(x_{0}\) 处有定义

• 极限值等于函数值

左连续：

如果 \(\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=f(x_{0}^{-})\) 存在且等于 \(f(0)\)，即：

\[f(x_{0}^{-})=f(x_{0}) \]

那么就说函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 左连续。

右连续：

如果 \(\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=f(x_{0}^{+})\) 存在且等于 \(f(0)\)，即：

\[f(x_{0}^{+})=f(x_{0}) \]

那么就说函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 右连续。

连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线。

插曲：三角函数公式：

\(\cos(a+b)=\cos a\cos b - \sin a\sin b\)

\(\cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b\)

\(\sin a\cos b = \frac{1}{2}[\sin(a+b)+\sin(a-b)]\)

\(\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos(a+b)+\cos(a-b)]\)

\(\sin a\sin b=-\frac{1}{2}[\cos(a+b)-\cos(a-b)]\)

\(\sin a+\sin b=2\sin\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\)

\(\cos a+\cos b=2\cos\frac{a+b}{2}\cos\frac{a-b}{2}\)

\(\cos a-\cos b=-2\sin\frac{a+b}{2}\sin\frac{a-b}{2}\)

函数的间断点

满足三个条件之一即可：

• 在 \(x_{0}\) 处无定义

• \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) 不存在

• \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\ne f(x_{0})\)

上面三个条件层层递进，满足第一条再判断第二条。

慢足以上三个条件之一的就说函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 为不连续，而点 \(x_{0}\) 称为函数 \(f(x)\) 的不连续点或间断点。

\[\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tan x = \infty \]

称 \(x=\frac{\pi}{2}\) 为函数 \(\tan x\) 的无穷间断点。

因为 \(y= \sin \frac{1}{x}\) 在 \(x\to 0\) 的时候无限变动多次，所以点 \(x=0\) 称为函数 \(\sin\frac{1}{x}\) 的振荡间断点。

\(y=\frac{x^{2}-1}{x-1}\) 在 \(x=1\) 时没有定义，这个间断点被称为可去间断点。

\[f(x)=\left\{\begin{matrix} x-1 &x<0\\ 0 & x=0\\ x+1 &x>0 \end{matrix}\right. \]

这种图像具有跳跃性的，称 \(x=0\) 是函数 \(f(x)\) 的跳跃间断点。

第一类间断点：左右极限都存在，可去间断点，跳跃间断点。

第二类间断点：左右极限至少一个不存在的间断点，震荡间断点，无穷间断点。