高等数学——函数的连续性和间断点

函数的连续性

增量：设变量 $u$ 从他的一个初值 $u_1$ 变到终值 $u_2$，终值与初值的差 $u_2-u_1$ 就叫做变量 $u$ 的增量。

$$\mathrm{\Delta }u=u_2-u_1$$

增量可正可负。

函数 $f(x)$ 随 $x$ 的变化：

$$\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$$

增量都是变化以后的减去变化以前的。

定义： 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一领域内有定义，如果：

$$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}[f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)]=0$$

那么就称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 连续。

设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一领域内有定义，如果：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$$

那么就称函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续。

连续满足以下条件：

• 在 $x_0$ 处有极限

• 在 $x_0$ 处有定义

• 极限值等于函数值

左连续：

如果 $\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=f(x_0^{-})$ 存在且等于 $f(0)$，即：

$$f(x_0^{-})=f(x_0)$$

那么就说函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 左连续。

右连续：

如果 $\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=f(x_0^{+})$ 存在且等于 $f(0)$，即：

$$f(x_0^{+})=f(x_0)$$

那么就说函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 右连续。

连续函数的图像是一条连续而不间断的曲线。

插曲：三角函数公式：

$\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$

$\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$

$\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)]$

$\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)]$

$\sin a\sin b=-\frac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)]$

$\sin a+\sin b=2\sin \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$

$\cos a+\cos b=2\cos \frac{a+b}{2}\cos \frac{a-b}{2}$

$\cos a-\cos b=-2\sin \frac{a+b}{2}\sin \frac{a-b}{2}$

函数的间断点

满足三个条件之一即可：

• 在 $x_0$ 处无定义

• $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 不存在

• $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\ne f(x_0)$

上面三个条件层层递进，满足第一条再判断第二条。

慢足以上三个条件之一的就说函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 为不连续，而点 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的不连续点或间断点。

$$\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}\tan x=\mathrm{\infty }$$

称 $x=\frac{\pi }{2}$ 为函数 $\tan x$ 的无穷间断点。

因为 $y=\sin \frac{1}{x}$ 在 $x\to 0$ 的时候无限变动多次，所以点 $x=0$ 称为函数 $\sin \frac{1}{x}$ 的振荡间断点。

$y=\frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 时没有定义，这个间断点被称为可去间断点。

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}x-1& x<0\\ 0& x=0\\ x+1& x>0\end{array}$$

这种图像具有跳跃性的，称 $x=0$ 是函数 $f(x)$ 的跳跃间断点。

第一类间断点：左右极限都存在，可去间断点，跳跃间断点。

第二类间断点：左右极限至少一个不存在的间断点，震荡间断点，无穷间断点。