高等数学——无穷小的比较

无穷小的比较

趋于 $0$ 的速度快慢。

定义#

如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=0$，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 高阶的无穷小，记作 $\beta =o(\alpha )$。

如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=\mathrm{\infty }$，那么就说 $\beta$ 是比 $\alpha$ 低阶的无穷小。

如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=c\ne 0$，那么就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是同阶无穷小。

如果 $lim\frac{\beta }{{\alpha }^k}=c\ne 0，k>0$，那么就说 $\beta$ 是关于 $\alpha$ 的 $k$ 阶无穷小。

如果 $lim\frac{\beta }{\alpha }=1$，那么就说 $\beta$ 与 $\alpha$ 是等价无穷小，记作 $\beta \sim \alpha$。

等价无穷小在求极限的时候可以替换。

$\sin x\sim x$，$\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x$。

定理1：$\beta$ 与 $\alpha$ 等价的充要条件是 $\beta =\alpha +o(\alpha )$。

定理2：$\alpha \sim \tilde{\alpha },\beta \sim \tilde{\beta }$，且 $lim\frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}$，则：

$$lim\frac{\beta }{\alpha }=lim\frac{\tilde{\beta }}{\tilde{\alpha }}$$

$$\sin ?\sim ?(?\to 0),\tan ?\sim ?(?\to 0)$$