高等数学——极限存在准则，两个重要极限

极限存在准则

准则1：如果有数列 \(\{x_{n}\},\{y_{n}\},\{z_{n}\}\)，如果满足：

\(\exists n_{0}\in \text{N}\)，当 \(n>n_{0}\) 时，有 \(y_{n}\le x_{n}\le z_{n}\)；

\(\lim_{n\to \infty} y_{n} =a,\lim_{n\to\infty}z_{n} = a\)；

那么数列 \(\{x_{n}\}\) 的极限存在，且 \(\lim_{n\to \infty}x_{n} =a\)。

准则1‘：如果：

当 $x\in \overset{\circ}{U}(x_{0}, r) $（或 \(|x|>M\) 时）， \(g(x)\le f(x)\le h(x)\)；

\(\lim_{x\to x_{0}} g(x) =A,\lim_{x\to x_{0}} h(x) =A\)（也可以趋向 \(\infty\)）

那么 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) 存在，且等于 \(A\).

上面两个准则合起来称为夹逼准则。

第一个重要极限

\[\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \]

一定要是 \(x\to 0\)。

\[\lim_{?\to 0} \frac{\sin ?}{?} = 1 \]

无 \(\sin\) 有 \(\tan\)（\(\arcsin,\cos\) 等）：

\[\lim_{x\to 0}\frac{\tan x}{x}=\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x}\frac{1}{\cos x}= 1 \]

无 \(x\) ：

\[\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{\sin 2x} =\lim_{x\to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{\sin 2x}{2x}}\times \frac{1}{2}=1 \]

准则2：单调有界数列必有极限。

第二个重要极限

\[\lim_{x\to \infty}(1+\frac{1}{x})^{x}=e \]

\[\lim_{?\to \infty}(1+\frac{1}{?})^{?}=e \]

\[\lim_{x\to \infty}(1 + x)^{\frac{1}{x}}= e \]

柯西极限存在准则

\(\{x_{n}\}\) 收敛的充要条件是 \(\forall \varepsilon ,\exists N, m>N,n>N\) 时，$|x_{n}-x_{m}|<\varepsilon $