高等数学——极限存在准则，两个重要极限

极限存在准则

准则1：如果有数列 $\{x_n\},\{y_n\},\{z_n\}$，如果满足：

$\mathrm{\exists }{n}_0\in \text{N}$，当 $n>n_0$ 时，有 $y_n\le x_n\le z_n$；

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{y}_n=a,\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{z}_n=a$；

那么数列 $\{x_n\}$ 的极限存在，且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$。

准则1‘：如果：

当 $x\in \stackrel{\circ }{U}(x_0,r)$（或 $|x|>M$ 时）， $g(x)\le f(x)\le h(x)$；

$\underset{x\to x_0}{lim}g(x)=A,\underset{x\to x_0}{lim}h(x)=A$（也可以趋向 $\mathrm{\infty }$）

那么 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，且等于 $A$.

上面两个准则合起来称为夹逼准则。

第一个重要极限

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1$$

一定要是 $x\to 0$。

$$\underset{?\to 0}{lim}\frac{\sin ?}{?}=1$$

无 $\sin$ 有 $\tan$（$\arcsin ,\cos$ 等）：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}\frac{1}{\cos x}=1$$

无 $x$ ：

$$\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{\sin 2x}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{\frac{\sin x}{x}}{\frac{\sin 2x}{2x}}\times \frac{1}{2}=1$$

准则2：单调有界数列必有极限。

第二个重要极限

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$

$$\underset{?\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+\frac{1}{?}{)}^{?}=e$$

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}(1+x{)}^{\frac{1}{x}}=e$$

柯西极限存在准则

$\{x_n\}$ 收敛的充要条件是 $\mathrm{\forall }\epsilon ,\mathrm{\exists }N,m>N,n>N$ 时，$|x_n-x_m|<\epsilon$