高等数学——极限运算法则

极限的运算法则

定理1：两个无穷小的和是无穷小，有限个无穷小的和还是无穷小。

定理2（重要）：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

有界函数如 \(\sin,\cos\)。

推论1：常数乘无穷小还是无穷小。

推论2：有限个无穷小的乘积还是无穷小。

定理3：\(\lim f(x)=A,\lim g(x)=B\)，

\[\lim[f(x)\pm g(x)]=\lim f(x) \pm \lim g(x)=A\pm B \]

上面的 \(x\) 要趋向同一值，且两个极限都要存在。

\[\lim[f(x)\cdot g(x)]=\lim f(x)\cdot \lim g(x) \]

\[\lim \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim f(x)}{\lim g(x)} (B\ne 0) \]

前两个式子都可以推广到有限个的极限运算。

推论1：如果 \(\lim f(x)\) 存在，有常数 \(c\)，那么：

\[\lim [cf(x)]= c\lim f(x) \]

推论2：如果 \(\lim f(x)\) 存在，而 \(n\) 为正整数，那么：

\[\lim[f(x)]^{n} = [\lim f(x)]^{n}. \]

定理4：将上面的定理推广到数列。

定理5：如果 \(\varphi(x)\ge \psi(x)\)，而 \(\lim \varphi(x)=A,\lim \psi(x)= B\)，那么 \(A\ge B\).