高等数学——极限运算法则

极限的运算法则

定理1：两个无穷小的和是无穷小，有限个无穷小的和还是无穷小。

定理2（重要）：有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

有界函数如 $\sin ,\cos$。

推论1：常数乘无穷小还是无穷小。

推论2：有限个无穷小的乘积还是无穷小。

定理3：$limf(x)=A,limg(x)=B$，

$$lim[f(x)\pm g(x)]=limf(x)\pm limg(x)=A\pm B$$

上面的 $x$ 要趋向同一值，且两个极限都要存在。

$$lim[f(x)\cdot g(x)]=limf(x)\cdot limg(x)$$

$$lim\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{limf(x)}{limg(x)}(B\ne 0)$$

前两个式子都可以推广到有限个的极限运算。

推论1：如果 $limf(x)$ 存在，有常数 $c$，那么：

$$lim[cf(x)]=climf(x)$$

推论2：如果 $limf(x)$ 存在，而 $n$ 为正整数，那么：

$$lim[f(x){]}^n=[limf(x){]}^n.$$

定理4：将上面的定理推广到数列。

定理5：如果 $\phi (x)\ge \psi (x)$，而 $lim\phi (x)=A,lim\psi (x)=B$，那么 $A\ge B$.