高等数学——无穷大与无穷小

无穷大和无穷小

无穷小#

无穷小指趋于 $0$，而不是 $-\mathrm{\infty }$。

可以从正从负趋于无穷小。

定义1 如果函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$（或 $x\to \mathrm{\infty }$）时的极限为 $0$，那么称函数 $f(x)$ 为当 $x\to x_0$（或 $x\to \mathrm{\infty }$）时的无穷小。

$0$ 可以作为无穷小的唯一的常数。

无穷小 加减乘 无穷小都是无穷小，乘上常数还是无穷小。

无穷小比无穷小需要看谁趋于 $0$ 的速度快。

定理1 在自变量的同一变化过程 $x\to x_0$（或 $x\to \mathrm{\infty }$）中，函数 $f(x)$ 具有极限 $A$ 的充分必要条件是 $f(x)=A+\alpha$，其中 $\alpha$ 是无穷小。

无穷大#

定义2 设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心领域内有定义（或 $|x|$ 大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数 $M$ （无论它多么大），总存在正数 $\delta$（或正数 $X$），只要 $x$ 适合不等式 $0<|x-x_0|<\delta$（或 $|x|>X$），对应的函数值 $f(x)$ 总满足不等式 $|f(x)|>M$ 那么称函数 $f(x)$ 是当 $x\to x_0$（或 $x\to \mathrm{\infty }$）时的无穷大。

无穷大加无穷大不等于无穷大。

无穷大减无穷大也不是无穷大。

无穷大乘无穷大是无穷大。

无穷大乘除 $0$ 以外的常数还是无穷大。

无穷小乘无穷大结果未知。

定理2 在自变量的同一变化过程中，如果 $f(x)$ 为无穷大，那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷小，反之，如果 $f(x)$ 为无穷小，且 $f(x)\ne 0$，那么 $\frac{1}{f(x)}$ 为无穷大。