高等数学——无穷大与无穷小

无穷大和无穷小

无穷小

无穷小指趋于 \(0\)，而不是 \(-\infty\)。

可以从正从负趋于无穷小。

定义1 如果函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_{0}\)（或 \(x\to \infty\)）时的极限为 \(0\)，那么称函数 \(f(x)\) 为当 \(x\to x_{0}\)（或 \(x\to \infty\)）时的无穷小。

\(0\) 可以作为无穷小的唯一的常数。

无穷小 加减乘 无穷小都是无穷小，乘上常数还是无穷小。

无穷小比无穷小需要看谁趋于 \(0\) 的速度快。

定理1 在自变量的同一变化过程 \(x\to x_{0}\)（或 \(x\to \infty\)）中，函数 \(f(x)\) 具有极限 \(A\) 的充分必要条件是 \(f(x)=A+\alpha\)，其中 \(\alpha\) 是无穷小。

无穷大

定义2 设函数 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的某一去心领域内有定义（或 \(|x|\) 大于某一正数时有定义）如果对于任意给定的正数 \(M\) （无论它多么大），总存在正数 \(\delta\)（或正数 \(X\)），只要 \(x\) 适合不等式 \(0<|x-x_{0}|<\delta\)（或 \(|x|>X\)），对应的函数值 \(f(x)\) 总满足不等式 \(|f(x)|>M\) 那么称函数 \(f(x)\) 是当 \(x\to x_{0}\)（或 \(x\to \infty\)）时的无穷大。

无穷大加无穷大不等于无穷大。

无穷大减无穷大也不是无穷大。

无穷大乘无穷大是无穷大。

无穷大乘除 \(0\) 以外的常数还是无穷大。

无穷小乘无穷大结果未知。

定理2 在自变量的同一变化过程中，如果 \(f(x)\) 为无穷大，那么 \(\frac{1}{f(x)}\) 为无穷小，反之，如果 \(f(x)\) 为无穷小，且 \(f(x) \ne 0\)，那么 \(\frac{1}{f(x)}\) 为无穷大。