高等数学——函数的极限

函数的极限

定义

\(x\) 趋于有限数 \(a\) 的极限。

\[x\to a, f(x)\to b \]

\(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 的去心领域内有定义（在 \(x_{0}\) 处可以没有定义）。

若 \(\exists A,\forall\delta>0,0<|x-x_{0}|<\delta\) 时，$|f(x)-A|<\varepsilon $，则：

\[\lim_{x\to x_{0}} f(x) = A \text{或} f(x)\to A(x\to x_{0}) \]

原书定义：

设函数 \(f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 的某一去心领域内有定义，如果存在常数 \(A\)，对于任意给定的正数 $\varepsilon $（不论它多么小），总存在正数 \(\delta\)，使得当 \(x\) 满足不等式 \(0<|x-x_{0}|<\delta\) 时，对应的函数值 \(f(x)\) 都满足不等式 $|f(x)-A|<\varepsilon $，那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_{0}\) 时的极限，记作：

\[\lim_{x\to x_{0}} f(x) = A \text{或} f(x)\to A(x\to x_{0}) \]

左极限：只从左侧趋于 \(x_{0}\)，记作 \(x\to x_{0}^{-}\)，此时在前面的定义修改为 \(x_{0}-\delta<x<x_{0}\) 那么 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_{0}\) 时的左极限，记作：

\[\lim_{x\to x_{0}^{-}}f(x) = A\text{或}f(x_{0}^{-})= A \]

右极限：只从右侧趋于 \(x_{0}\)，记作 \(x\to x_{0}^{+}\)，此时在前面的定义修改为 \(x_{0}<x<x_{0} + \delta\) 那么 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_{0}\) 时的右极限，记作：

\[\lim_{x\to x_{0}^{+}}f(x) = A\text{或}f(x_{0}^{+})= A \]

函数 \(f(x)\) 当 \(x\to x_{0}\) 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即：

\[f(x_{0}^{-})= f(x_{0}^{+}) \]

即使左右极限都存在，但不相等，则 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) 也不存在。

当 \(x\to \infty,\forall \varepsilon > 0,\exists X>0,|x|>A\) 时，\(|f(x)-A|<\varepsilon\)，那么常数 \(A\) 就叫做函数 \(f(x)\) 当 \(x\to \infty\) 时的极限，记作：

\[\lim_{x\to\infty}f(x)=A\text{或}f(x)\to A(x\to \infty) \]

性质

定理1（函数极限的唯一性）如果 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) 存在，那么这极限唯一。

定理2（函数极限的局部有界性）如果 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)=A\)，那么存在常数 \(M>0\)，使得当 \(0<|x-x_{0}|<\delta\) 时，有 \(|f(x)|\le M\)。

定理3（函数极限的局部保号性）如果 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)=A\)，且 \(A>0\)（或 \(A<0\)），那么存在常数 \(\delta>0\)，使得当 \(0<|x-x_{0}|<\delta'\) 时，有 \(f(x)>0\)（或 \(f(x)<0\)）。

定理3‘如果 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)=A(A\ne 0)\)，那么就存在着 \(x_{0}\) 的某一去心领域 \(\overset{\circ}{U}(x_{0})\)，当 \(x\in \overset{\circ}{U}(x_{0})\) 时，就有 \(|f(x)|>\frac{A}{2}\)。

推论：如果在 \(x_{0}\) 的某去心领域内 \(f(x)\ge 0\)（或 \(f(x)\le 0\))，而且 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)=A\)，那么 \(A\ge 0\)（或 \(A\le 0\)）。

定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\) 存在，\(\{x_{n}\}\) 为函数 \(f(x)\) 的定义域内任一收敛于 \(x_{0}\) 的数列，且满足：\(x_{n}\ne x_{0}(n\in \text{N}^{+})\)，那么相应的函数值数列 \(\{f(x_{n})\}\) 必收敛，且 \(\lim_{x\to x_{0}}f(x)=\lim_{n\to \infty}f(x_{n})\)。