高等数学——函数的极限

函数的极限

定义#

$x$ 趋于有限数 $a$ 的极限。

$$x\to a,f(x)\to b$$

$f(x)$ 在 $x_0$ 的去心领域内有定义（在 $x_0$ 处可以没有定义）。

若 $\mathrm{\exists }A,\mathrm{\forall }\delta >0,0<|x-x_0|<\delta$ 时，$|f(x)-A|<\epsilon$，则：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\text{或}f(x)\to A(x\to x_0)$$

原书定义：

设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心领域内有定义，如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\epsilon$（不论它多么小），总存在正数 $\delta$，使得当 $x$ 满足不等式 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式 $|f(x)-A|<\epsilon$，那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的极限，记作：

$$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A\text{或}f(x)\to A(x\to x_0)$$

左极限：只从左侧趋于 $x_0$，记作 $x\to x_0^{-}$，此时在前面的定义修改为 $x_0-\delta <x<x_0$ 那么 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的左极限，记作：

$$\underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x)=A\text{或}f(x_0^{-})=A$$

右极限：只从右侧趋于 $x_0$，记作 $x\to x_0^{+}$，此时在前面的定义修改为 $x_0<x<x_0+\delta$ 那么 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时的右极限，记作：

$$\underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x)=A\text{或}f(x_0^{+})=A$$

函数 $f(x)$ 当 $x\to x_0$ 时极限存在的充分必要条件是左极限及右极限各自存在并且相等，即：

$$f(x_0^{-})=f(x_0^{+})$$

即使左右极限都存在，但不相等，则 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 也不存在。

当 $x\to \mathrm{\infty },\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }X>0,|x|>A$ 时，$|f(x)-A|<\epsilon$，那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时的极限，记作：

$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x)=A\text{或}f(x)\to A(x\to \mathrm{\infty })$$

性质#

定理1（函数极限的唯一性）如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，那么这极限唯一。

定理2（函数极限的局部有界性）如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$，那么存在常数 $M>0$，使得当 $0<|x-x_0|<\delta$ 时，有 $|f(x)|\le M$。

定理3（函数极限的局部保号性）如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$，且 $A>0$（或 $A<0$），那么存在常数 $\delta >0$，使得当 $0<|x-x_0|<{\delta }^{\prime }$ 时，有 $f(x)>0$（或 $f(x)<0$）。

定理3‘如果 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A(A\ne 0)$，那么就存在着 $x_0$ 的某一去心领域 $\stackrel{\circ }{U}(x_0)$，当 $x\in \stackrel{\circ }{U}(x_0)$ 时，就有 $|f(x)|>\frac{A}{2}$。

推论：如果在 $x_0$ 的某去心领域内 $f(x)\ge 0$（或 $f(x)\le 0$)，而且 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=A$，那么 $A\ge 0$（或 $A\le 0$）。

定理4（函数极限与数列极限的关系）如果极限 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，$\{x_n\}$ 为函数 $f(x)$ 的定义域内任一收敛于 $x_0$ 的数列，且满足：$x_n\ne x_0(n\in {\text{N}}^{+})$，那么相应的函数值数列 $\{f(x_n)\}$ 必收敛，且 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x_n)$。