高等数学——数列的极限
数列的极限
定义
数列:\(x_{1},x_{2},\dots,x_{n},\dots\) 是一个从小到大的序列,称为数列,记为 \(\{x_{n}\}\)
其中 \(x_{1}\) 叫做项,\(x_{n}\) 称为通项(一般项)。
数列极限:设 \(\{x_{n}\}\) 是一个数列,\(\forall \varepsilon >0,\exists N\),使当 \(n>N\) 时,$|x_{n}-a|<\varepsilon $,则称 \(a\) 是数列 \(\{x_{n}\}\) 的极限,也可以说数列 \(\{x_{n}\}\) 收敛于 \(a\),记为:
$\varepsilon $ 是一个任意小的距离,如果存在某一项,这项以后的所有项,都落在 $\varepsilon $ 的区间里。
收敛数列的性质
定理1(极限的唯一性)如果数列 \(\{x_{n}\}\) 收敛,那么它的极限唯一。
定理2(收敛数列的有界性)如果数列 \(\{x_{n}\}s\) 收敛,那么数列 \(\{x_{n}\}\) 一定有界。
定理3(收敛数列的保号性)如果 \(\lim_{n\to \infty}x_{n}=a\),且 \(a>0\)(或 \(a<0\)),那么存在正整数 \(N>0\),当 \(n>N\) 时,都有 \(x_{n}>0\)(或 \(x_{n}<0\))。
推论:如果数列 \(\{x_{n}\}\) 从某项起有 \(x\ge 0\)(或 \(x_{n}\le 0\)),且 \(\lim_{n\to \infty}x_{n} = a\),那么 \(a\ge 0\)(或 \(a\le 0\))。
定理4(收敛数列与其子数列间的关系)如果数列 \(\{x_{n}\}\) 收敛于 \(a\),那么它的任一子数列也收敛,且极限也是 \(a\)。
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