高等数学——数列的极限

数列的极限

定义#

数列：$x_1,x_2,\dots ,x_n,\dots$ 是一个从小到大的序列，称为数列，记为 $\{x_n\}$

其中 $x_1$ 叫做项，$x_n$ 称为通项（一般项）。

数列极限：设 $\{x_n\}$ 是一个数列，$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\exists }N$，使当 $n>N$ 时，$|x_n-a|<\epsilon$，则称 $a$ 是数列 $\{x_n\}$ 的极限，也可以说数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，记为：

$$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a\text{或}{x}_n\to a(n\to \mathrm{\infty })$$

$\epsilon$ 是一个任意小的距离，如果存在某一项，这项以后的所有项，都落在 $\epsilon$ 的区间里。

收敛数列的性质#

定理1（极限的唯一性）如果数列 $\{x_n\}$ 收敛，那么它的极限唯一。

定理2（收敛数列的有界性）如果数列 $\{x_n\}s$ 收敛，那么数列 $\{x_n\}$ 一定有界。

定理3（收敛数列的保号性）如果 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$，且 $a>0$（或 $a<0$），那么存在正整数 $N>0$，当 $n>N$ 时，都有 $x_n>0$（或 $x_n<0$）。

推论：如果数列 $\{x_n\}$ 从某项起有 $x\ge 0$（或 $x_n\le 0$），且 $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=a$，那么 $a\ge 0$（或 $a\le 0$）。

定理4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列 $\{x_n\}$ 收敛于 $a$，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 $a$。