高等数学——反函数复合函数等

反函数复合函数

反函数#

设 $f:D\to f(D)$ 是单射， $f^{-1}:f(D)\to D$，则称 $f^{-1}$ 为 $f$ 的反函数。

若 $f$ 为单调函数且是单射，则 $f^{-1}$ 必定存在且 $f^{-1}$ 也为单调函数。

$f$ 与 $f^{-1}$ 关于 $y=x$ 对称。

复合函数#

若 $y=f(t),t=g(x)$ 则 $y=f[g(x)]$，$t$ 称为中间变量。

注意 $R_g\subset D_f$。

运算#

设 $f(x),g(x)$ 的定义域为 $D_f,D_g$ 且 $D=D_f\cap D_g\ne \varnothing$，有以下运算。

$$(f\pm g)(x)=f(x)\pm g(x),x\in D$$

$$(f\cdot g)(x)=f(x)\cdot g(x),x\in D$$

$$\left(\frac{f}{g}\right)(x)=\frac{f(x)}{g(x)},g(x)\ne 0$$

初等函数#

幂函数：$y=x^{\mu }$

指数函数：$y=a^x$

对数函数：$y={\log }_{a}x$

${\log }_{e}x=\ln x,{\log }_{10}x=\lg x$

三角函数

反三角函数

经过有限次的四种基本运算和复合得到的函数为初等函数。

上面的五种函数称为基本初等函数。