高等数学——反函数复合函数等

反函数复合函数

反函数

设 \(f:D\to f(D)\) 是单射， \(f^{-1}:f(D) \to D\)，则称 \(f^{-1}\) 为 \(f\) 的反函数。

若 \(f\) 为单调函数且是单射，则 \(f^{-1}\) 必定存在且 \(f^{-1}\) 也为单调函数。

\(f\) 与 \(f^{-1}\) 关于 \(y=x\) 对称。

复合函数

若 \(y=f(t),t=g(x)\) 则 \(y=f[g(x)]\)，\(t\) 称为中间变量。

注意 \(R_{g}\subset D_{f}\)。

运算

设 \(f(x),g(x)\) 的定义域为 \(D_{f},D_{g}\) 且 \(D=D_{f}\cap D_{g}\ne \varnothing\)，有以下运算。

\[(f\pm g)(x) = f(x) \pm g(x),x\in D \]

\[(f\cdot g)(x) = f(x) \cdot g(x), x\in D \]

\[\left ( \frac{f}{g} \right ) (x) = \frac{f(x)}{g(x)},g(x) \ne 0 \]

初等函数

幂函数：\(y=x^{\mu}\)

指数函数：\(y=a^{x}\)

对数函数：\(y = \log_{a}x\)

\(\log_{e}x = \ln x,\log_{10}x=\lg x\)

三角函数

反三角函数

经过有限次的四种基本运算和复合得到的函数为初等函数。

上面的五种函数称为基本初等函数。