高等数学——函数的几种特性

函数的几种特性

有界性

上界：\(\exists K_{1},f(x) \le K_{1}\)，\(K_{1}\) 是 \(f(x)\) 在 \(X\) 上的一个上界。

上界不唯一，如 \(f(x)\le K_{1}\) 的同时 \(f(x)\le K_{1} + 1\)。

下界：\(\exists K_{2}, f(x) \ge K_{2}\)，\(K_{2}\) 是 \(f(x)\) 在 \(X\) 上的一个下界。

下界也是不唯一的。

有界：\(\exists M\in \text{N}^{+},|f(x)| \le M\)，\(-M\le f(x)\le M\)。

无界：\(\forall M\in \text{N}^{+},\exists x_{1}\in X\) 使得 \(|f(x_{1})|> M\)。

有界 \(\iff\) 有上界且有下界。

单调性

对于一个函数 \(\forall x_{1} < x_{2},f(x_{1})<f(x_{2})\)，则称此函数为单调递增的，若 \(f(x_{1})>f(x_{2})\) 则称此函数为单调递减的。

奇偶性

\(D\) 关于原点对称。

若 \(f(-x) = f(x)\) 则称此函数为偶函数。

若 \(f(-x) = -f(x)\) 则称此函数为奇函数。

偶函数的图像关于 \(x\) 轴对称，奇函数的图像关于原点对称。

周期性

若 \(\exists l\in \text{N}^{+},f(x+l)=f(x)\)，则称 \(l\) 为 \(f(x)\) 的一个周期。

周期有无数个，也可以是 \(2l,3l\dots\)。

我们一般情况下说的周期是最小正周期。

并非每个周期函数都有最小正周期。

迪利克雷（Dirichlet）函数

\[D(x) = \left\{\begin{matrix} 1 & x\in\text{Q}\\ 0 & x\in\text{Q}^{C} \end{matrix}\right. \]

任何正有理数 \(r\) 都是他的周期，\(f(x)=f(x + r)\)。

不存在最小的正有理数作为周期。