高等数学——函数的几种特性

函数的几种特性

有界性#

上界：$\mathrm{\exists }{K}_1,f(x)\le K_1$，$K_1$ 是 $f(x)$ 在 $X$ 上的一个上界。

上界不唯一，如 $f(x)\le K_1$ 的同时 $f(x)\le K_1+1$。

下界：$\mathrm{\exists }{K}_2,f(x)\ge K_2$，$K_2$ 是 $f(x)$ 在 $X$ 上的一个下界。

下界也是不唯一的。

有界：$\mathrm{\exists }M\in {\text{N}}^{+},|f(x)|\le M$，$-M\le f(x)\le M$。

无界：$\mathrm{\forall }M\in {\text{N}}^{+},\mathrm{\exists }{x}_1\in X$ 使得 $|f(x_1)|>M$。

有界 $⟺$ 有上界且有下界。

单调性#

对于一个函数 $\mathrm{\forall }{x}_1<x_2,f(x_1)<f(x_2)$，则称此函数为单调递增的，若 $f(x_1)>f(x_2)$ 则称此函数为单调递减的。

奇偶性#

$D$ 关于原点对称。

若 $f(-x)=f(x)$ 则称此函数为偶函数。

若 $f(-x)=-f(x)$ 则称此函数为奇函数。

偶函数的图像关于 $x$ 轴对称，奇函数的图像关于原点对称。

周期性#

若 $\mathrm{\exists }l\in {\text{N}}^{+},f(x+l)=f(x)$，则称 $l$ 为 $f(x)$ 的一个周期。

周期有无数个，也可以是 $2l,3l\dots$。

我们一般情况下说的周期是最小正周期。

并非每个周期函数都有最小正周期。

迪利克雷（Dirichlet）函数

$$D(x)=\{\begin{array}{cc}1& x\in \text{Q}\\ 0& x\in {\text{Q}}^C\end{array}$$

任何正有理数 $r$ 都是他的周期，$f(x)=f(x+r)$。

不存在最小的正有理数作为周期。