高等数学——映射

映射

定义#

设 $X,Y$ 是两个非空集合，如果存在一个法则 $f$，使得对 $X$ 中每个元素 $x$，按法则 $f$，在 $Y$ 中有唯一确定的元素 $y$ 与之对应，那么称 $f$ 为从 $X$ 到 $Y$ 的映射，记作：

$$f:X\to Y$$

其中 $y$ 称为元素 $x$ （在映射 $f$ 下）的像，并记作 $f(x)$，即：

$$y=f(x)$$

而元素 $x$ 称为元素 $y$ （在映射 $f$ 下）的一个原像；集合 $X$ 称为映射 $f$ 的定义域，记作 $D_f$，即 $D_f=X$，$X$ 中所有元素的像所组成的集合称为映射 $f$ 的值域，记作 $R_f$ 或 $f(X)$，即：

$$R_f=f(X)=\{f(x)|x\in X\}$$

注意：#

三要素：$X,f,R_f$。

• $R_f\subset Y$，$R_f$ 不一定与 $Y$ 相等，也就是说 $Y$ 中的元素不一定有 $X$ 中的元素与之对应，但 $X$ 中的元素在 $Y$ 中一定有元素与之对应。

• 对于 $x\in X$，其对应的 $y$ 是唯一的，即一个 $x$ 只能对应一个 $y$，而两个 $x$ 可以对应同一个 $y$。

特殊映射#

满射：

当 $R_f=Y$，此时的 $f$ 称为满射。

单射：

当每一个 $y$ 只有一个 $x$ 与之对应（一一对应），$x_1\ne x_2,f(x_1)\ne f(x_2)$，此时 $f$ 称为单射。

一一映射：

既是单射又是满射的映射，此时 $X,Y$ 中的元素数量相等。

逆映射：设 $f:X\to Y$ 为单射，对于每个 $y\in R_f$（不一定是满射故不是 $Y$），都有唯一的 $x\in X$ 满足 $f(x)=y$，我们可以定义一个新的映射 $g$，即：

$$g:R_f\to X$$

这个映射 $g$ 称之为 $f$ 的逆映射，记作 $f^{-1}$，其定义域为 $D_{f^{-1}}=R_f$，值域 $R_{f^{-1}}=X$。

只有单射才有逆映射。

复合映射：

设 $g:X\to Y_1,f:Y_2\to Z$ 并且 $Y_1\subset Y_2,x\in X$，每个 $x$ 能通过 $g$ 再通过 $f$ 得到 $Y_2$ 里的元素，即 $f[g(x)]\in Z$，这个映射称为 $g$ 和 $f$ 构成的复合映射，记作：$f\circ g$，即：

$$f\circ g:X\to Z,(f\circ g)(x)=f[g(x)],x\in X$$

此时 $g$ 的值域必须包含在 $f$ 的定义域内： $R_g\subset D_f$。

复合映射是有顺序的， $f\circ g$ 有意义不代表 $g\circ f$ 有意义。

即使两个复合映射都有意义，两个复合映射也未必相同。