浅谈扫描线

扫描线

扫描线一般运用在图形上面，它和它的字面意思非常相似，就是拿一根线，在图形上面扫来扫去。我们一般用它来解决图形的面积，周长，二位数点等问题。

Atlantis 问题

在二维坐标系上，给出多个矩形的左下以及右上坐标，求出所有矩形构成的图形的面积。

我们当然知道，如果数据范围很小，我们可以直接暴力，也就是先都加起来，然后再枚举一下把重复的减去；但如果数据范围过大，我们暴力肯定是不行的，这个时候就可以用到我们的扫描线了。

假设我们现在有一根线，从下往上开始扫描：

（这是张动图可能导成pdf就挂了）

我们发现，我们把整个图形分成了如图各个颜色不同的小矩形，那么这个小矩阵的高就是我们扫过的距离，那么剩下了一个变量，那就是长在不断地变化。

我们一般用线段树来维护矩形的长，我们给每一个矩形的上下边进行标记，下面的边标记为 \(1\)，上面的边标记为 \(-1\)，每遇到一个矩形的时候，我们就知道了标记为 \(1\) 的边，我们就加进来这一条矩形的长，等到扫描到 \(-1\) 的时候，证明这一条边需要删除，就删去，利用 \(1\) 和 \(-1\) 可以轻松的到达这种状态。

我们一般还需要用到离散化。

面积并

我们结合例题来看一下：

P5490【模板】扫描线 - 洛谷

我们前面说要用线段树来做，我们用它来维护当前的矩形的长。

我们考虑到我们的线段树维护的东西都是点，但是我们需要维护的是区间，那么我们可以把区间下放到点上，也就是每一个叶子节点维护的是一个线段，而我们用 \(l\)，也就是当前点的左端点，以及 $r+1 $ 来达到询问当前节点区间的左右端点的目的。

我们先来看主函数：

signed main()
{
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        x11=read(),y11=read(),x22=read(),y22=read();
        X[2*i-1]=x11,X[2*i]=x22;
        e[2*i-1]=(sb){x11,x22,y11,1};
        e[2*i]=(sb){x11,x22,y22,-1};
    }
    n*=2;
    sort(e+1,e+n+1,cmp);
    sort(X+1,X+n+1);
    int tot=unique(X+1,X+n+1)-X-1;
//    cout<<"tot:"<<tot<<endl;
    build(1,1,tot-1);
    int ans=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        change(1,e[i].l,e[i].r,e[i].flag);
        ans+=e1[1].len*(e[i+1].h-e[i].h);
    }
    cout<<ans<<endl;
//    for(int i=1;i<=n;i++)cout<<X[i]<<" ";cout<<endl;
    return 0;
}

\(X\) 数组是用来存放所有点的横坐标，因为我们是要维护区间的话，不可能每一个点都维护到，所以只存放有给定点的坐标，\(e\) 是定义的结构体用于存放每一个矩形的信息，我们需要把他给存放下当前矩形的信息，其中 \(X[2i-1]\) 是当前矩形的左端点横坐标，\(X[2i]\) 是当前矩形的右端点横坐标，\(e[2i-1]\) 是当前矩形的下表面，\(e[2i]\) 是当前矩形的上表面，因为我们说了如果要是碰到了下表面，我们就需要给他加进去，一旦碰到上表面，说明这个矩形完成了，可以出去了。两个 sort 第一个是给矩形的上下表面按高度排序，保证是从下往上遍历的，不会出现负数，后面的是进行排序后用 unique 进行离散化，然后就开始建树。因为我们是把线段放到左端点上，所以是 \(tot-1\) 个。再往后，我们进行 change 操作来对当前扫到的矩形长的长度做修改，然后用上一个的高度减去当前点的高度，计算当前扫到的面积。

再来看 change 操作：

inline void p_p(int x)
{
    int l=e1[x].l,r=e1[x].r;
    if(e1[x].sum)e1[x].len=X[r+1]-X[l];
    else e1[x].len=e1[ls].len+e1[rs].len; 
}
inline void change(int x,int nl,int nr,int c)
{
    int l=e1[x].l,r=e1[x].r;
    if(X[r+1]<=nl||nr<=X[l])return ;
    if(nl<=X[l]&&X[r+1]<=nr)
    {
        e1[x].sum+=c;
        p_p(x);
        return ;
    }
    change(ls,nl,nr,c);
    change(rs,nl,nr,c);
    p_p(x);
    return ;
}

我们的 change 里面是用来修改当前扫到的矩形的长的长度总和的。

如果要是当前的区间右端点在要改的左端点的左边，那肯定不会包含，直接退出；如果当前区间左端点在要改的右端点的右边，那肯定也不包含，直接退出。

后面如果遇到包含的区间就直接改 \(sum\)，然后更新。

这个更新函数也就是 p_p 是对于所有的扫到的线段长度进行求和返回到上面，如果没有扫到就直接更新儿子节点，为什么呢？因为一开始的儿子节点长度都是 \(0\)，叶子节点没有儿子节点，默认也是 \(0\)。

至此我们完成了这个奇妙的算法！

周长并

既然求了面积，那就再来看看求周长吧。

P1856[IOI1998] [USACO5.5] 矩形周长Picture - 洛谷

看到题目给的图片：什么乱七八糟的

我们来试着找找有没有什么规律：

我们先来看竖着的线。

我们很容易发现，我们当前截到的线段数量，乘上 \(2\)，然后再乘以当前点扫过的高度，不就是我们当前扫到的所有矩形的竖边的长度总和吗？

然后我们再来看横边。

我们手模一下不难发现，我们在往上不断平移线段的时候，我们发现，当前的长，也就是和线段重合的长度，是上一次的长度与这次长度做差的绝对值！

为什么是绝对值？如果是一开始的时候，长会越来越大，就是这一次减去上一次的值，而到了后面，就是上一次长度减去这一次长度的值了。

所以我们需要加个绝对值。

知道怎么算周长了，那我们直接套线段树吧！

但是我们上面说过，计算竖边的时候，我们需要知道当前扫描线上线段的数量。

所以我们的线段树要多维护几个东西：当前线段左右端点是否被覆盖，以及当前区间内扫描线上的线段数量。

具体结合代码来分析：

signed main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>x11>>y11>>x22>>y22;
        X[2*i-1]=x11,X[2*i]=x22;
        e[2*i-1]={x11,x22,y11,1};
        e[2*i]={x11,x22,y22,-1};
    }
    n*=2;
    sort(e+1,e+n+1,cmp);
    sort(X+1,X+n+1);
    int tot=unique(X+1,X+n+1)-X-1;
    build(1,1,tot-1);
    int res=0;
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        change(1,e[i].l,e[i].r,e[i].flag);
        res+=abs(pre-t[1].len);
        pre=t[1].len;
        res+=2*t[1].c*(e[i+1].h-e[i].h);
    }
    res+=e[n].r-e[n].l;
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

和上面一样的部分就不说了，看不一样的。

对 \(e\) 进行排序的时候，我们先按高度排序，然后高度相同就把下底面放前面，因为不这样做就会把这条边多扫一遍，虽然在面积中无影响但是对于周长影响挺大的。

其中 \(pre\) 表示上一次扫描线上的线段总长度。

最后为什么有一个第 \(n\) 个矩形的单独计算呢？因为我们上面是枚举到 \(n-1\)，最后一条边是取不到的，所以我们最后算上。

inline void p_p(int x)
{
    int l=t[x].l,r=t[x].r;
    if(t[x].sum)
    {
        t[x].len=X[r+1]-X[l];
        t[x].lc=t[x].rc=1;
        t[x].c=1;
    }
    else 
    {
        t[x].len=t[ls].len+t[rs].len;
        t[x].lc=t[ls].lc,t[x].rc=t[rs].rc;
        t[x].c=t[ls].c+t[rs].c;
        if(t[rs].lc&&t[ls].rc)t[x].c--;
    }
}
inline void change(int x,int nl,int nr,int c)
{
    int l=t[x].l,r=t[x].r;
    if(X[l]>=nr||nl>=X[r+1])return ;
    if(nl<=X[l]&&nr>=X[r+1])
    {
        t[x].sum+=c;
        p_p(x);
        return ;
    }
    change(ls,nl,nr,c);
    change(rs,nl,nr,c);
    p_p(x);
    return ; 
}

更新函数里面，\(lc,rc\) 分别表示当前节点代表的线段的左右端点是否被覆盖，\(c\) 是此区间内的线段数量，如果 \(sum\) 有值，我们就直接更新，标记当前线段左右端点都被覆盖，然后就是当前区间是一个线段，\(c\) 标记为 \(1\)。

如果此区间内不是都被覆盖，那就先累加长度，随后判断此区间的端点覆盖情况，如果左区间左端点被覆盖，那么此区间的左端点也被覆盖，反之对于右区间的右端点也成立，先粗略把左右区间的线段数累加起来，后面判断交点是否都被覆盖，如果都被覆盖，说明中间是一整段的，直接把线段树减一即可。

对于 change 函数，和之前的面积修改一样。

然后我们就把周长的问题也给解决了！

但是扫描线的作用不仅限于此。

二维数点

给一个长为 \(n\) 的序列，有 \(m\) 次查询，每次查区间 \([l,r]\) 中值在 \([x,y]\) 内的元素个数。

这个问题就叫做二维数点。我们可以发现等价于我们要查询一个二维平面上矩形内的点的数量和。

最简单的方法就是扫描线 + 树状数组。

很显然，这个问题是一个静态的二维问题，我们通过扫描线可以将静态的二维问题转换为动态的一维问题。维护动态的一维问题就可以使用数据结构，这里可以使用树状数组。

先将所有的询问离散化，用树状数组来维护权值，对于每次询问的 \(l\) 和 \(r\)，我们在枚举到 \(l-1\) 的时候统计当前位于区间 \([x,y]\) 内的数的数量 \(a\)，继续向后枚举，枚举到 \(r\) 时统计当前位于区间 \([x,y]\) 内的数的数量 \(b\)，\(b-a\) 即为该次询问的答案。

例题：P2163[SHOI2007]园丁的烦恼 - 洛谷

参考：oiwiki以及https://ncc79601.blog.luogu.org/scan-line