模拟退火

模拟退火

模拟退火是一种随机化算法，当一个问题的方案数极大（甚至是无穷的）而且不是一个单峰函数的时候，我们可以考虑用模拟退火来解决，当然这只能给我们骗更多的分，想通过的话有一定的难度。

优点#

根据爬山算法的过程，我们发现，爬山算法只能看到当前的最优解，而如果后面又有更优的解，爬山算法是找不到这个解的，也就是说爬山算法只适用于成单峰函数的题目。

模拟退火是有一定的概率从当前的点跳到另一个点，这赋予了他能够有一定概率得到最优解。

退火是一种金属热处理工艺，指的是将金属缓慢加热到一定温度，保持足够时间，然后以适宜速度冷却。目的是降低硬度，改善切削加工性；消除残余应力，稳定尺寸，减少变形与裂纹倾向；细化晶粒，调整组织，消除组织缺陷。准确的说，退火是一种对材料的热处理工艺，包括金属材料、非金属材料。而且新材料的退火目的也与传统金属退火存在异同。

---------百度百科

于是我们可以去模拟这个过程，将目标函数作为能量函数。

过程#

如果新状态的解更优则修改答案，否则以一定概率接受新状态。

我们先定义当前温度为 $T$，新状态与已知状态（由已知状态通过随机的方式得到）之间的能量差为 $\mathrm{\Delta }E$ $(\mathrm{\Delta }E\ge 0)$，则发生状态转移（修改最优解）的概率为

$$P(\mathrm{\Delta }E)=\{\begin{array}{cc}1& \text{新状态更优}\\ e^{\frac{-\mathrm{\Delta }E}{T}}& \text{新状态更劣}\end{array}$$

可以看到我们是有一定概率接受更劣的状态的。

注意：我们有时为了使得到的解更有质量，会在模拟退火结束后，以当前温度在得到的解附近多次随机状态，尝试得到更优的解。

如何退火？#

模拟退火时我们有三个参数：初始温度 $T_0$，降温系数 $d$，终止温度 $T_k$。其中 $T_0$ 是一个比较大的数，$d$ 是一个非常接近 $1$ 但是小于 $1$ 的数，$T_k$ 是一个接近 $0$ 的正数。

首先让温度 $T=T_0$，然后按照上述步骤进行一次转移尝试，再让 $T=d\times T$。当 $T<T_k$ 时模拟退火过程结束，当前最优解即为最终的最优解。

注意为了使得解更为精确，我们通常不直接取当前解作为答案，而是在退火过程中维护遇到的所有解的最优值。

引用一张 Wiki - Simulated annealing 的图片（随着温度的降低，跳跃越来越不随机，最优解也越来越稳定）。

卡时#

有一个 clock() 函数，返回程序运行时间。

可以把主程序中的 simulat eAnneal(); 换成 while ((double)clock()/CLOCKS_PER_SEC < MAX_TIME) simulateAnneal();。这样子就会一直跑模拟退火，直到用时即将超过时间限制。

这里的 MAX_TIME 是一个自定义的略小于时限的数（单位：秒）。