浅谈中国剩余定理

中国剩余定理

定义#

中国剩余定理（CRT）可以求解如下形式的一元线性同余方程组（其中 $n_1,n_2,\dots ,n_k$ 两两互质）

$$\{\begin{array}{c}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{n}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{n}_2)\\ ⋮\\ x\equiv a_k(\mathrm{mod}{n}_k)\end{array}$$

过程#

• 计算所有模数的积 $n$

• 对于第 $i$ 个方程：

  • 计算 $m_i=\frac{n}{n_i}$;

  • 计算 $m_i$ 在模 $n_i$ 意义下的逆元 $m_i^{-1}$

  • 计算 $c_i=m_i{m}_i^{-1}$ （不要对 $n_i$ 取模）

• 方程组在模 $n$ 意义下的唯一解为 $x=\sum _{i=1}^k{a}_i{c}_i(\mathrm{mod}n)$

证明#

我们需要证明上面算法计算所得的 $x$ 对于任意 $i=1,2,\dots ,k$ 满足 $x\equiv a_i(\mathrm{mod}{n}_i)$

当 $i\ne j$ 时，有 $m_j\equiv 0(\mathrm{mod}{n}_i)$ ，故 $c_j\equiv m_j\equiv 0(\mathrm{mod}{n}_i)$ 又有 $c_i\equiv m_i\times (m_i^{-1}mod{n}_i)\equiv 1(\mathrm{mod}{n}_i)$，所以我们有：

$$\begin{gathered} x\equiv \sum _{j=1}^k{a}_j{c}_j(\mathrm{mod}{n}_i) \\ \equiv a_i{c}_i(\mathrm{mod}{n}_i) \\ \equiv a_i\times m_i\times (m_i^{-1}mod{n}_i)(\mathrm{mod}{n}_i) \\ \equiv a_i(\mathrm{mod}{n}_i) \end{gathered}$$

其中 $m_i^{-1}$ 表示 $m_i$ 的逆元。

即对于任意 $i=1,2,\dots ,k$，上面算法提到的 $x$ 总是满足 $x\equiv a_i(\mathrm{mod}{n}_i)$，即证明了解同余方程组的算法的正确性。

因为我们没有对输入的 $a_i$ 作特殊限制，所以任何一组输入都对应一个解 $x$

另外，若 $x\ne y$，则总存在 $i$ 使得 $x$ 和 $y$ 在模 $n_i$ 下不同余

故系数列表 $\{a_i\}$ 与解 $x$ 之间是一一映射关系，方程组总是有唯一解

P1495【模板】中国剩余定理（CRT）/ 曹冲养猪 - 洛谷

参考代码：

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#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
int n,r[11],m[11],mi[11],M=1,ans;
inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//扩欧求逆元 
{
    if(b==0){x=1,y=0;return;}
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;x=y;y=z-y*(a/b);
}
signed main()
{
    cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        cin>>m[i];
        M*=m[i];
        cin>>r[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        mi[i]=M/m[i];
        int x=0,y=0;
        exgcd(mi[i],m[i],x,y);//计算mi[i]在模m[i]意义下的逆元x 
        if(x<0)x+=m[i];//有可能是负数，加上模数即可 
        ans+=r[i]*mi[i]*x;//累加答案 
    }
    cout<<(ans%M)<<endl;
    return 0;
} 

Garner 算法#

CRT的另一个用途是用一组比较小的质数来表示一个大的整数。

例如，若 $a$ 满足如下线性方程组，且 $a<\prod _{i=1}^k{P}_i$ （其中 $P_i$ 为质数）：

$$\{\begin{array}{c}a\equiv a_1(\mathrm{mod}{p}_1)\\ a\equiv a_2(\mathrm{mod}{p}_2)\\ ⋮\\ a\equiv a_k(\mathrm{mod}{p}_k)\end{array}$$

我们可以用以下形式的式子（称作 $a$ 的混合基数表示）表示 $a$：

$$a=x_1+x_2{p}_1+x_3{p}_1{p}_2+\cdots +x_k{p}_1\dots p_{k-1}$$

Garner 算法将用来计算系数 $x_1,\dots ,x_k$。

令 $r_{ij}$ 为 $p_i$ 在模 $p_j$ 意义下的逆：

$$p_i\times r_{ij}\equiv 1(\mathrm{mod}{p}_j)$$

把 $a$ 带入我们得到的第一个方程：

$$a_1\equiv x_1(\mathrm{mod}{p}_1)$$

代入第二个方程得到：

$$a_2\equiv x_1+x_2{p}_1(\mathrm{mod}{p}_2)$$

方程两边减 $x_1$，除 $p_1$ 后得

$$\begin{gathered} a_2-x_1\equiv x_2{p}_1(\mathrm{mod}{p}_2) \\ (a_2-x_1)r_{1,2}\equiv x_2(\mathrm{mod}{p}_2) \\ {x}_2\equiv (a_2-x_1)r_{1,2}(\mathrm{mod}{p}_2) \end{gathered}$$

类似地，我们可以得到：

扩展CRT#

上面的朴素 CRT 是求解

$$\{\begin{array}{c}x\equiv a_1(\mathrm{mod}{n}_1)\\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{n}_2)\\ ⋮\\ x\equiv a_k(\mathrm{mod}{n}_k)\end{array}$$

一类的同余方程组，但是如果 $n_1,n_2,\dots ,n_k$ 不互质的话怎么办？

据某位学长说扩展中国剩余定理跟中国剩余定理没半毛钱关系，一个是用扩展欧几里得，一个是用构造

首先我们从简单入手，考虑只有两个式子的情况

$$\begin{gathered} x\equiv a_1(\mathrm{mod}{n}_1) \\ x\equiv a_2(\mathrm{mod}{n}_2) \end{gathered}$$

将两个式子变形：

$$\begin{gathered} x=a_1+n_1{k}_1 \\ x=a_2+n_2{k}_2 \end{gathered}$$

联立：

$$a_1+n_1{k}_1=a_2+n_2{k}_2$$

移项：

$$n_1{k}_1=a_2-a_1+n_2{k}_2$$

在这里需要注意就是这个方程有解的条件是 $gcd(n_1,n_2)\mid (a_2-a_1)$，因为后面会用到 $\frac{a_2-a_1}{gcd(n_1,n_2)}$ 这一项，如果不能整除会出现小数。

对于上面的方程，两边同除 $gcd(n_1,n_2)$

$$\begin{gathered} \frac{n_1{k}_1}{gcd(n_1,n_2)}=\frac{a_2-a_1}{gcd(n_1,n_2)}+\frac{n_2{k}_2}{gcd(n_1,n_2)} \\ \frac{n_1}{gcd(n_1,n_2)}{k}_1=\frac{a_2-a_1}{gcd(n_1,n_2)}+\frac{n_2}{gcd(n_1,n_2)}{k}_2 \end{gathered}$$

转换一下：

$$\frac{n_1}{gcd(n_1,n_2)}{k}_1\equiv \frac{a_2-a_1}{gcd(n_1,n_2)}(\mathrm{mod}\frac{n_2}{gcd(n_1,n_2)})$$

此时我们把 $k_2$ 搞没了

同余式两边同除 $\frac{n_1}{gcd(n_1,n_2)}$

$$k_1\equiv inv(\frac{n_1}{gcd(n_1,n_2)},\frac{n_2}{gcd(n_1,n_2)})\times \frac{a_2-a_1}{gcd(n_1,n_2)}(\mathrm{mod}\frac{n_2}{gcd(n_1,n_2)})$$

$inv(a,b)$ 表示 $a$ 在模 $b$ 意义下的逆元。

$$k_1\equiv inv(\frac{n_1}{gcd(n_1,n_2)},\frac{n_2}{gcd(n_1,n_2)})\times \frac{a_2-a_1}{gcd(n_1,n_2)}+\frac{n_2}{gcd(n_1,n_2)}\times y$$

我们把开头的式子拿过来，把 $k_1$ 代回去。

$$x=inv(\frac{n_1}{gcd(n_1,n_2)},\frac{n_2}{gcd(n_1,n_2)})\times \frac{a_2-a_1}{gcd(n_1,n_2)}\times n_1+y\frac{n_1{n}_2}{gcd(n_1,n_2)}+a_1$$

$$x\equiv inv(\frac{n_1}{gcd(n_1,n_2)},\frac{n_2}{gcd(n_1,n_2)})\times \frac{a_2-a_1}{gcd(n_1,n_2)}\times n_1+a_1(\mathrm{mod}\frac{n_1{n}_2}{gcd(n_1,n_2)})$$

此时，整个式子中的元素我们都知道了

这个式子可以看作是

$$x\equiv a(\mathrm{mod}n)$$

其中：

$$a=(inv(\frac{n_1}{gcd(n_1,n_2)},\frac{n_2}{gcd(n_1,n_2)})\times \frac{a_2-a_1}{gcd(n_1,n_2)})\mathrm{\%}\frac{n_2}{gcd(n_1,n_2)}\times n_1+a_1$$

$$n=\frac{n_1{n}_2}{gcd(n_1,n_2)}$$

如果是多个式子可以逐个合并。

上面的式子如果你觉得又臭又长可以把 $inv$ 及括号里的替换为用扩欧对两模数求逆元的 $x$，他俩是一个数；$n$ 也就是 $\text{lcm}(n_1,n_2)$。

P4777【模板】扩展中国剩余定理（EXCRT） - 洛谷

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#include<bits/stdc++.h>
#define int __int128
#define N 100010
using namespace std;
int n,x,y,d;
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){f=ch!='-';ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);ch=getchar();}return f?x:-x;}
inline void print(int x){if(x>=10)print(x/10);putchar(x%10+48);}
inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)//扩欧求逆元 
{
    if(b==0)return d=a,x=1,y=0,void();//d是当前的ab的最大公约数 
    exgcd(b,a%b,x,y);
    int z=x;x=y;y=z-y*(a/b);
}
inline int lcm(int a,int b){return a*b/__gcd(a,b);}//最小公倍数函数 
int a,b,A,B;
inline void merge()//合并两个同余方程组 
{
    exgcd(a,A,x,y);//先求两个值的一组特解和最大公约数 
    int c=B-b;//计算两个式子的余数的差值 
    if(c%d)puts("-1"),exit(0);//如果是gcd的倍数说明分母后面是0无解 
    x=x*c/d%(A/d);//计算右半部分式子的值 
    if(x<0)x+=A/d;//如果小于0就加上模数 
    int mod=lcm(a,A);//计算新模数，A，a的最小公倍数 
    b=(a*x+b)%mod;//计算余数也就是新b的值， 
    if(b<0)b+=mod;//如果b小于0就直接加上模数 
    a=mod;//新的模数 
}
signed main()
{
    n=read();a=read();b=read(); 
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        int _A=read(),_B=read();//当前式子的模数，余数 
        A=_A,B=_B;
        merge();//合并 
    }
    print(b%a);
    return 0;
}

部分参考自 OI Wiki