容斥原理

抽屉原理#

或者说是鸽巢原理

它常用于证明存在性证明和求最坏情况下的解

将 $n+1$ 个物体，划分为 $n$ 组，那么有至少一组有两个及以上的物体

显然好吧

假设每一个分组有至多一个物体，那么最多有 $1\times n$ 个物体，而实际上我们是放了 $n+1$ 个物体，显然需要把多出来的一个放到其中一个分组中，那样就出现了上述情况。

我们来推广到一般情况

将 $n$ 个物体，划分为 $k$ 组，那么至少存在一个分组，含有大于等于 $\lceil \frac{n}{k}\rceil$ 个物品

若每个分组含有小于 $\lceil \frac{n}{k}\rceil$ 个物体，则其总和 :

$$s\le (\lceil \frac{n}{k}\rceil -1)\times k=k\lceil \frac{n}{k}\rceil -k<k(\frac{n}{k}+1)-k=n$$

矛盾，故得证。

容斥原理

引入#

我们在学习统计集合之类的见过一类问题

假设班里有 $10$ 名同学喜欢下棋，$15$ 名同学喜欢游泳，$21$ 名同学喜欢踢足球，求班里一共有多少名学生（每一名学生至少喜欢一项）

是 $10+15+21=46$ 个吗？显然不是，因为有人可以同时喜欢两项，甚至三项都喜欢，这个时候我们的答案是不固定的。

我们用 $A,B,C$ 表示下棋，游泳，踢足球的同学的集合，则学生总数是 $|A\cup B\cup C|$ 。刚才说过，如果直接累加 $|A|,|B|,|C|$ 有的元素会被重复统计，根据下图，我们需要扣去 $|A\cap B|,|B\cap C|,|C\cap A|$，但这样一来，中间一小部分多扣了，我们需要加回来，即 $|A\cap B\cap C|$，所以我们最后得到：

$$|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|+|A\cap B\cap C|$$

推广到一般情况。

定义#

设 $U$ 中元素有 $n$ 中不同的属性，而第 $i$ 种属性称为 $P_i$，拥有属性 $P_i$ 的元素构成集合 $S_i$，那么：

$$\left|\bigcup _{i=1}^n{S}_i\right|=\sum _i|S_i|-\sum _{i<j}^{}|S_i\cap S_j|+\sum _{i<j<k}^{}|S_i\cap S_j\cap S_k|-\dots +(-1{)}^{m-1}\sum _{a_i<a_i+1}^{}\left|\bigcap _{i=1}^m{S}_{a_i}\right|+\dots +(-1{)}^{n-1}|S_1\cap \dots \cap S_n|$$

即：

$$\left|\bigcup _{i=1}^n{S}_i\right|=\sum _{m=1}^n(-1{)}^{m-1}\sum _{a_i<a_i+1}\left|\bigcap _{i=1}^m{S}_{a_i}\right|$$

证明：

对于每一个元素使用二项式定理计算其出现的次数，对于元素 $x$，假设他出现在 $T_1,T_2,\dots ,T_m$ 的集合中，那么他的出现次数为：

$$Cnt=|\{T_i\}|-|\{T_i\cap T_j|i<j\}|+\dots +(-1{)}^{k-1}\left|\{\bigcap _{i=1}^m{T}_{a_i}|a_i<a_i-1\}\right|+\dots +(-1{)}^{m-1}|\{T_1\cap \dots \cap T_m\}|$$

$$=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{1})-(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2})+\dots +(-1{)}^{m-1}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{m})$$

$$=(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{0})-\sum _{i=0}^m(-1{)}^i(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{i})$$

$$1-(1-1{)}^m=1$$

于是每一个元素出现的次数为 $1$，那么合并起来就是并集。