容斥原理

抽屉原理

或者说是鸽巢原理

它常用于证明存在性证明和求最坏情况下的解

将 \(n+1\) 个物体，划分为 \(n\) 组，那么有至少一组有两个及以上的物体

显然好吧

假设每一个分组有至多一个物体，那么最多有 \(1\times n\) 个物体，而实际上我们是放了 \(n+1\) 个物体，显然需要把多出来的一个放到其中一个分组中，那样就出现了上述情况。

我们来推广到一般情况

将 \(n\) 个物体，划分为 \(k\) 组，那么至少存在一个分组，含有大于等于 \(\lceil \frac{n}{k} \rceil\) 个物品

若每个分组含有小于 \(\lceil \frac{n}{k} \rceil\) 个物体，则其总和 :

\[s\le (\lceil \frac{n}{k} \rceil-1)\times k=k\lceil \frac{n}{k} \rceil-k<k(\frac{n}{k}+1)-k=n \]

矛盾，故得证。

容斥原理

引入

我们在学习统计集合之类的见过一类问题

假设班里有 \(10\) 名同学喜欢下棋，\(15\) 名同学喜欢游泳，\(21\) 名同学喜欢踢足球，求班里一共有多少名学生（每一名学生至少喜欢一项）

是 \(10+15+21=46\) 个吗？显然不是，因为有人可以同时喜欢两项，甚至三项都喜欢，这个时候我们的答案是不固定的。

我们用 \(A,B,C\) 表示下棋，游泳，踢足球的同学的集合，则学生总数是 \(|A\cup B\cup C|\) 。刚才说过，如果直接累加 \(|A|,|B|,|C|\) 有的元素会被重复统计，根据下图，我们需要扣去 \(|A\cap B|,|B\cap C|,|C\cap A|\)，但这样一来，中间一小部分多扣了，我们需要加回来，即 \(|A\cap B\cap C|\)，所以我们最后得到：

\[|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|B\cap C|-|C\cap A|+|A\cap B\cap C| \]

推广到一般情况。

定义

设 \(U\) 中元素有 \(n\) 中不同的属性，而第 \(i\) 种属性称为 \(P_{i}\)，拥有属性 \(P_{i}\) 的元素构成集合 \(S_{i}\)，那么：

\[\left | \bigcup_{i=1}^{n} S_{i} \right |=\sum_{i} | S_{i} |-\sum_{i<j}^{}|S_{i}\cap S_{j}|+\sum_{i<j<k}^{}|S_{i}\cap S_{j}\cap S_{k}|-\ldots +(-1)^{m-1}\sum_{a_{i}<a_{i}+1}^{}\left | \bigcap_{i=1}^{m}S_{a_{i}} \right | +\ldots +(-1)^{n-1}|S_{1}\cap \ldots \cap S_{n}| \]

即：

\[\left | \bigcup_{i=1}^{n}S_{i} \right |=\sum_{m=1}^{n}(-1)^{m-1}\sum_{a_{i}<a_{i}+1}\left | \bigcap_{i=1}^{m}S_{a_{i}} \right | \]

证明：

对于每一个元素使用二项式定理计算其出现的次数，对于元素 \(x\)，假设他出现在 \(T_{1},T_{2},\ldots,T_{m}\) 的集合中，那么他的出现次数为：

\[Cnt=|\{T_{i}\}|-|\{T_{i}\cap T_{j}|i<j\}|+\ldots+(-1)^{k-1}\left | \left \{ \bigcap_{i=1}^{m} T_{a_{i}}|a_{i}<a_{i}-1 \right \} \right | +\ldots+(-1)^{m-1}|\{T_{1}\cap \ldots \cap T_{m}\}| \]

\[=\binom{m}{1}-\binom{m}{2}+\ldots+(-1)^{m-1}\binom{m}{m} \]

\[=\binom{m}{0}-\sum_{i=0}^{m}(-1)^{i}\binom{m}{i} \]

\[1-(1-1)^{m}=1 \]

于是每一个元素出现的次数为 \(1\)，那么合并起来就是并集。