整除，带余除法，GCD，同余

整除#

设 $a,b\in \mathbb{Z},a\ne 0$。如果 $\mathrm{\exists }q\in \mathbb{Z}$，使得 $b=a\times q$，那么就说 $b$ 可被 $a$ 整除，记作 $a\mid b$ ；$b$ 不被 $a$ 整除记作 $a\nmid b$ 。

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整除的性质：

1. $a\mid b⟺-a\mid b⟺a\mid -b⟺\left|a\right|\mid \left|b\right|$

2. $a\mid b\wedge b\mid c⟹a\mid c$

3. $a\mid b\wedge a\mid c⟺\mathrm{\forall }x,y\in \mathbb{Z},a\mid (xb+yc)$

4. $a\mid b\wedge b\mid a⟹b=\pm a$

5. 设 $m\ne 0$，那么 $a\mid b⟺ma\mid mb$

6. 设 $b\ne 0$，那么 $a\mid b⟹\left|a\right|\le \left|b\right|$

7. 设 $a\ne 0,b=qa+c$，那么 $a\mid b⟺a\mid c$

约数（因数）：若 $a\mid b$，则称 $b$ 是 $a$ 的倍数，$a$ 是 $b$ 的约数。

$0$ 是所有非 $0$ 整数的倍数。对于整数 $b\ne 0$ ，$b$ 的约数有无限个。

平凡约（因）数：对于整数 $b\ne 0,\pm 1、\pm b$ 是 $b$ 的平凡约数，当 $b=\pm 1$ 时，$b$ 只有两个平凡约数。

对于整数 $b\ne 0$ ，$b$ 的其他约数称为真约数（真因数、非平凡约数）。

如果没有特别说明，约数总是指正约数

带余除法#

设 $a,b$ 为两个给定的整数，$a\ne 0$ 。设 $d$ 是一个给定的整数。那么，一定存在唯一的一对整数 $q,r$，满足 $b=qa+r,d\le r<\left|a\right|+d$。

无论 $d$ 取何值，$r$ 统称为余数。$a\mid b$ 等价于 $a\mid r$ 。

一般情况下 $d$ 取 $0$ ，此时等式 $b=qa+r,\le r<\left|a\right|$ 统称为带余除法。这里的余数 $r$ 成为最小非负余数。

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$a÷b=c...d$

其中 $a$ 是被除数，$b$ 是除数，$c$ 是商，$d$ 是余数。

性质：

1. $a=b\times c+d$

2. $b>d\ge 0$

3. $c=a/b,d=amodb$

4. $(a+b)modc=(amodc+b\mathrm{mod}c)modc$ 同理减和乘也成立

5. 任一整数被正整数 $a$ 除后，余数一定是且仅是 $0$ 到 $(a-1)$ 这 $a$ 个数中的一个。

6. 相邻的 $a$ 个整数被正整数 $a$ 除后，恰好取到上述 $a$ 个余数。

对于四的证明：

设 $a=x\times c+a^{\prime },b=y\times c+b^{\prime }$ 将这两个式子代入 $(a+b)modc$ 后得到：$(x\times c+a^{\prime }+y\times c+b^{\prime })modc$ 很显然最后剩下的是 $(a^{\prime }+b^{\prime })modc$ ，而我们知道 $a^{\prime }=amodc,b^{\prime }=amodc$ ，故得证。

最大公约数（gcd）和最小公倍数（lcm）#

一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。 是任意一组整数的公约数。

一组整数的最大公约数，是指所有公约数里面最大的一个。

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最为常见的是辗转相除法，也叫欧几里得算法。

已知两个数 $a,b$，如果 $a>b$ ，那么 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$。

证明：

设 $a=b\times k+c$，显然有 $c=amodb$。设 $d\mid a,d\mid b$，则 $c=a-b\times k,\frac{c}{d}=\frac{a}{d}-\frac{b}{d}\times k$。

$\frac{c}{d}$ 一定是整数，即 $d\mid c$，所以对于 $a,b$ 的公约数，他也会是 $b,amodb$ 的公约数。

那么我们对于 c++ 就可以直接用递归或者 while 循环来实现。

同余定理#

定义：如果两个数 $a$ 和 $b$ 除以一个数 $m$ 的余数相同，则称 $a$ 与 $b$ 同余，记作 $a\equiv b(\mathrm{mod}m)$。

基本性质：

1. 反身性：$a\equiv a(\mathrm{mod}n)$;

2. 对称性：若 $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$,则 $b\equiv a(\mathrm{mod}n)$;

3. 传递性：若 $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$,$b\equiv c(\mathrm{mod}n)$,则 $a\equiv c(\mathrm{mod}n)$;

4. 同余式相加：若 $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$,$c\equiv d(\mathrm{mod}n)$,则$a+c\equiv b+d(\mathrm{mod}n)$;

5. 同余式相乘：若 $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$,$c\equiv d(\mathrm{mod}n)$,则$a\times c\equiv b\times d(\mathrm{mod}n)$;

6. 同余式相减：若 $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$,$c\equiv d(\mathrm{mod}n)$,则$a-c\equiv b-d(\mathrm{mod}n)$;

7. 若 $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$,则$a\times m\equiv b\times m(\mathrm{mod}n)$（其中 $m$ 为自然数）

8. 若 $a\times c\equiv b\times c(\mathrm{mod}n)$,$gcd(c,n)=1$,那么 $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$;

9. 若 $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$,则 $a^n\equiv b^n(\mathrm{mod}n)$;

10. 若 $a\equiv b(\mathrm{mod}n)$,$c\equiv d(\mathrm{mod}n)$,$e\equiv f(\mathrm{mod}n)$.....$x\equiv y(\mathrm{mod}n)$,则 $a+c+e+...+x\equiv b+d+f+...+y(\mathrm{mod}n)$;