整除，带余除法，GCD，同余

整除

设 \(a,b\in \mathbb{Z},a\ne 0\)。如果 \(\exists q\in \mathbb{Z}\)，使得 \(b=a\times q\)，那么就说 \(b\) 可被 \(a\) 整除，记作 \(a\mid b\) ；\(b\) 不被 \(a\) 整除记作 \(a\nmid b\) 。

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整除的性质：

1. $a\mid b \Longleftrightarrow -a\mid b\Longleftrightarrow a\mid -b\Longleftrightarrow \left | a \right | \mid \left | b \right | $

2. \(a\mid b \wedge b\mid c\Longrightarrow a\mid c\)

3. \(a\mid b \wedge a\mid c \Longleftrightarrow \forall x,y\in \mathbb{Z},a\mid (x b+y c)\)

4. \(a\mid b\wedge b\mid a \Longrightarrow b=\pm a\)

5. 设 \(m\ne 0\)，那么 \(a\mid b \Longleftrightarrow ma\mid mb\)

6. 设 \(b\ne 0\)，那么 $a\mid b\Longrightarrow \left | a \right | \le \left | b \right | $

7. 设 \(a\ne 0,b=qa+c\)，那么 \(a\mid b\Longleftrightarrow a\mid c\)

约数（因数）：若 \(a\mid b\)，则称 \(b\) 是 \(a\) 的倍数，\(a\) 是 \(b\) 的约数。

\(0\) 是所有非 \(0\) 整数的倍数。对于整数 \(b\ne 0\) ，\(b\) 的约数有无限个。

平凡约（因）数：对于整数 \(b\ne 0,\pm 1、\pm b\) 是 \(b\) 的平凡约数，当 \(b=\pm 1\) 时，\(b\) 只有两个平凡约数。

对于整数 \(b\ne 0\) ，\(b\) 的其他约数称为真约数（真因数、非平凡约数）。

如果没有特别说明，约数总是指正约数

带余除法

设 \(a,b\) 为两个给定的整数，\(a\ne 0\) 。设 \(d\) 是一个给定的整数。那么，一定存在唯一的一对整数 \(q,r\)，满足 \(b=qa+r,d\le r<\left | a \right | +d\)。

无论 \(d\) 取何值，\(r\) 统称为余数。\(a\mid b\) 等价于 \(a\mid r\) 。

一般情况下 \(d\) 取 \(0\) ，此时等式 $b=qa+r,\le r< \left | a \right | $ 统称为带余除法。这里的余数 \(r\) 成为最小非负余数。

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\(a\div b=c...d\)

其中 \(a\) 是被除数，\(b\) 是除数，\(c\) 是商，\(d\) 是余数。

性质：

1. \(a=b\times c+d\)

2. \(b>d\ge 0\)

3. \(c=a/b,d=a\bmod b\)

4. \((a+b)\bmod c=(a\bmod c+b\mod c)\bmod c\) 同理减和乘也成立

5. 任一整数被正整数 \(a\) 除后，余数一定是且仅是 \(0\) 到 \((a-1)\) 这 \(a\) 个数中的一个。

6. 相邻的 \(a\) 个整数被正整数 \(a\) 除后，恰好取到上述 \(a\) 个余数。

对于四的证明：

设 \(a=x\times c+a',b=y\times c+b'\) 将这两个式子代入 \((a+b)\bmod c\) 后得到：\((x\times c+a'+y\times c+b')\bmod c\) 很显然最后剩下的是 \((a'+b')\bmod c\) ，而我们知道 \(a'=a\bmod c,b'=a\bmod c\) ，故得证。

最大公约数（gcd）和最小公倍数（lcm）

一组整数的公约数，是指同时是这组数中每一个数的约数的数。 是任意一组整数的公约数。

一组整数的最大公约数，是指所有公约数里面最大的一个。

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最为常见的是辗转相除法，也叫欧几里得算法。

已知两个数 \(a,b\)，如果 \(a>b\) ，那么 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)。

证明：

设 \(a=b\times k+c\)，显然有 \(c=a\bmod b\)。设 \(d\mid a,d\mid b\)，则 \(c=a-b\times k,\frac{c}{d}=\frac{a}{d}-\frac{b}{d}\times k\)。

\(\frac{c}{d}\) 一定是整数，即 \(d\mid c\)，所以对于 \(a,b\) 的公约数，他也会是 \(b,a\bmod b\) 的公约数。

那么我们对于 c++ 就可以直接用递归或者 while 循环来实现。

同余定理

定义：如果两个数 \(a\) 和 \(b\) 除以一个数 \(m\) 的余数相同，则称 \(a\) 与 \(b\) 同余，记作 \(a\equiv b\pmod{m}\)。

基本性质：

1. 反身性：\(a\equiv a\pmod{n}\);

2. 对称性：若 \(a\equiv b\pmod{n}\),则 \(b\equiv a\pmod{n}\);

3. 传递性：若 \(a\equiv b\pmod{n}\),\(b\equiv c\pmod{n}\),则 \(a\equiv c\pmod{n}\);

4. 同余式相加：若 \(a\equiv b\pmod{n}\),\(c\equiv d\pmod{n}\),则\(a+c\equiv b+d\pmod{n}\);

5. 同余式相乘：若 \(a\equiv b\pmod{n}\),\(c\equiv d\pmod{n}\),则\(a\times c\equiv b\times d\pmod{n}\);

6. 同余式相减：若 \(a\equiv b\pmod{n}\),\(c\equiv d\pmod{n}\),则\(a-c\equiv b-d\pmod{n}\);

7. 若 \(a\equiv b\pmod{n}\),则\(a\times m\equiv b\times m\pmod{n}\)（其中 \(m\) 为自然数）

8. 若 \(a\times c\equiv b\times c\pmod{n}\),\(\gcd(c,n)=1\),那么 \(a\equiv b\pmod{n}\);

9. 若 \(a\equiv b\pmod{n}\),则 \(a^{n}\equiv b^{n}\pmod{n}\);

10. 若 \(a\equiv b\pmod{n}\),\(c\equiv d\pmod{n}\),\(e\equiv f\pmod{n}\).....\(x\equiv y\pmod{n}\),则 \(a+c+e+...+x\equiv b+d+f+...+y\pmod{n}\);