无需旋转のFHQ-treap！
废物带旋 Treap，FHQ 比你快一倍还比你好写，还支持可持久化，你拿什么跟 FHQ 比啊（恼
update：2023.1.12 以前写的博客看起来太仓促了，修改了一下。
update：2023.6.21 还是只会写模板的我来再修一下（其实是基本重写了一遍我以前写的什么狗屎）。
第一次写是2022.8.9，现在一看都快隔着一年了，令人感慨。
FHQ-Treap
学习这种平衡树不需要了解 treap，据说 treap 和 splay 能干的事情他也能干，而且还支持可持久化。
FHQ-Treap 虽然名字里带 treap，但是我感觉和 treap 没有多大的关系，主要是因为 FHQ 不需要 treap 的核心操作——旋转。
而 FHQ 为了保持一个平衡的状态，通过两个基本的操作来实现其他各种操作。
前置知识
二叉搜索树
一棵满足以下条件的二叉树：左子树的点的值都小于根节点的值，右子树的点的值都大于根节点的值，且左右子树都满足这个性质。
堆
一种维护数据让其最值在最上方的数据结构，比如大根堆就是大的值在上面，小的值在下面。
原理
FHQ-Treap 不是通过旋转来保持平衡的，而是通过两个函数 split 和 merge 。顾名思义，split 就是分裂，merge 就是合并。当然，从最底层的原理来看，还不是这两个函数。FHQ-Treap 中的 Treap 代表 Tree + Heap，也就是说，FHQ-Treap 会按二叉搜索树一样根据键值排序结点，并且随机赋给每个结点一个优先级，按照二叉堆的顺序排序结点（这里用大根堆其实大根堆小根堆都一样，都是为了保持平衡）。Treap 通过旋转，使平衡树同时满足这两个性质，从而达到平衡。而FHQ-Treap 通过调用 merge 函数时使平衡树满足堆序，实现原理与 Treap 不同，这也是为什么我上面说不用了解 Treap 的原因。
变量与函数
先看一下定义的数组：
int ch[N][2], val[N], siz[N], key[N], cnt;
int T, rt = 0;
inline void push_up(int x) {siz[x] = 1 + siz[ch[x][0]] + siz[ch[x][1]];}
inline int node(int x)
{
cnt++;
siz[cnt] = 1;
val[cnt] = x;
key[cnt] = rand();
return cnt;
}
其中 ch 表示当前结点的左右儿子的编号，\(0\) 是左儿子，\(1\) 是右儿子。
val 是结点存储的值，siz 是以当前点为根的子树大小，key 是我们赋的随机权值。
push_up 主要是用于更新 siz ，因为在 FHQ 中查找有关排名之类的操作都是需要用到 siz 来判断的，所以主要是更新子树的大小。
node 函数的含义就是新开一个点，里面的 key 要赋随机权值，在初始化完之后要返回当前点的编号。
分裂与合并
按值分裂
我们先来看一下代码：
inline void split(int x, int k, int &xx, int &yy)
{
if(! x) return xx = yy = 0, void();
if(val[x] <= k) xx = x, split(ch[x][1], k, ch[x][1], yy);
else yy = x, split(ch[x][0], k, xx, ch[x][0]);
push_up(x);
return ;
}
函数里面的参数，x 是当前点的编号，k 是分裂的权值，也就是我们现在是把小于等于 k 的结点分为一棵子树，大于 k 的结点分为一棵子树；xx,yy 是我们分裂出来的两棵树的根结点。
根据二叉搜索树的性质，我们首先是判断当前点的值是不是小于等于 k ，如果成立则把当前 xx 替换成 x ，也就是当前结点，表示当前结点被划分到左边的子树中，然后在往下递归，因为当前点的左子树的值肯定小于等于 x 的权值，所以也成立，在左子树，而右子树的不一定会成立，所以我们去判断右子树。
如果要是当前点的值大于 k 的话，我们就直接把他给分给右子树，也就是把 yy 替换成 x ，然后继续递归。
我们重复上面的步骤，如果当前点是空的就直接返回不属于任何一个结点的子节点，也就是在递归回去的过程中把分裂完后子节点为空的结点的 ch 给更新掉。
图片来自OI—Wiki。
按排名分裂
其实和上面的是差不多的，就是把值改成了排名，在判断的时候用的是 siz。
inline void split2(int x, int k, int &xx, int &yy)
{
if(! x) return xx = yy = 0, void();
if(siz[ch[x][0]] + 1 <= k) xx = x, split(ch[x][1], k - size[ch[x][0]] - 1, ch[x][1], yy);
else yy = x, split(ch[x][0], k, xx, ch[x][0]);
push_up(x);
return ;
}
要注意在当前点被分到 xx 的时候，我们需要将 k 减去 siz[x] + 1 ，因为我们在往下是到右子树去找，所以之前左子树占掉的排名个数要减去。
合并
先来看代码：
inline int merge(int x, int y)
{
if(! x || ! y) return x + y;
if(key[x] > key[y])
{
ch[x][1] = merge(ch[x][1], y);
push_up(x);
return x;
}
else
{
ch[y][0] = merge(x, ch[y][0]);
push_up(y);
return y;
}
}
我们在合并的时候，就要考虑来满足堆的性质了，让随机权值最大的点在上面。
因为两个分裂出来的子树已经有序，所以我们在合并的时候只需要考虑把哪个树「放在上面」，把哪个「放在下面」，也就是是需要判断将哪个一个树作为子树。显然，根据堆的性质，我们需要把 key 值大的放在上面（上面说过里默认用大根堆）
同时，我们还需要满足搜索树的性质，所以若 xx 的根结点的 key 小于 yy 的，那么 xx 即为新根结点，并且 yy 因为 val 值比 xx 更大，应与 xx 的右子树合并；反之，则 yy 作为新根结点，然后因为 xx 的 val 值比 yy 小，与 yy 的左子树合并。
其他操作
插入点
split(rt, a, x, y);
rt = merge(merge(x, node(a)), y);
我们把当前的整棵树按照给定的点的权值给分开，然后新开一个点，将其与 x 合并后再与 y 合并即可。
删除点
split(rt, a, x, z);
split(x, a - 1, x, y);
y = merge(ch[y][0], ch[y][1]);
rt = merge(merge(x, y), z);
我们把小于等于 a 的点给分出来，然后从这棵子树里面把小于等于 a-1 的点给分出来，也就是我们相当于 y 中的结点全是等于 a 的，然后我们把左右儿子合并就把一个值为 a 的点给删掉了，然后合并起来即可。
查询给定值的排名
split(rt, a - 1, x, y);
cout << siz[x] + 1 << endl;
rt = merge(x, y);
我们先把小于等于 a-1，也就是小于 a 的值都给分出来，然后以他为根的子树大小就是当前 a 值的排名了。
查询给定排名的值
inline int get_rank(int x, int k)
{
while(1)
{
if(k <= siz[ch[x][0]]) {x = ch[x][0]; continue;}
if(k == siz[ch[x][0]] + 1) return x;
else k -= siz[ch[x][0]] + 1, x = ch[x][1];
}
}
这个没有什么好方法，只能暴力找，但由于我们平衡树的优良结构，复杂度是 \(O(\log n)\) 的。
查询前驱
split(rt, a - 1, x, y);
cout << val[get_rank(x, siz[x])] << endl;
rt = merge(x, y);
我们把小于等于 a-1 的点也就是小于 a 的点给分出来然后直接查询我们的 x 中最后一个点的序号然后输出对应值即可。
查询后继
split(rt, a, x, y);
cout << val[get_rank(y, 1)] << endl;
rt = merge(x, y);
跟上面的原理差不多，我们只不过是在大于 a 的结点的子树中找了第一个大于 a 的点。
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
#define N 500100
using namespace std;
int ch[N][2], val[N], siz[N], key[N], cnt;
int T, rt = 0;
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
inline void push_up(int x) {siz[x] = 1 + siz[ch[x][0]] + siz[ch[x][1]];}
inline int node(int x)
{
cnt++;
siz[cnt] = 1;
val[cnt] = x;
key[cnt] = rand();
return cnt;
}
inline int merge(int x, int y)
{
if(! x || ! y) return x + y;
if(key[x] > key[y])
{
ch[x][1] = merge(ch[x][1], y);
push_up(x);
return x;
}
else
{
ch[y][0] = merge(x, ch[y][0]);
push_up(y);
return y;
}
}
inline void split(int x, int k, int &xx, int &yy)
{
if(! x) return xx = yy = 0, void();
if(val[x] <= k) xx = x, split(ch[x][1], k, ch[x][1], yy);
else yy = x, split(ch[x][0], k, xx, ch[x][0]);
push_up(x);
return ;
}
inline void split2(int x, int k, int &xx, int &yy)
{
if(! x) return xx = yy = 0, void();
if(siz[ch[x][0]] + 1 <= k) xx = x, split(ch[x][1], k - siz[ch[x][0]] - 1, ch[x][1], yy);
else yy = x, split(ch[x][0], k, xx, ch[x][0]);
push_up(x);
return ;
}
inline int get_rank(int x, int k)
{
while(1)
{
if(k <= siz[ch[x][0]]) {x = ch[x][0]; continue;}
if(k == siz[ch[x][0]] + 1) return x;
else k -= siz[ch[x][0]] + 1, x = ch[x][1];
}
}
signed main()
{
srand((unsigned)time(NULL));
T = read();
while(T --)
{
int op = read(), a = read(), x, y, z;
if(op == 1)
{
split(rt, a, x, y);
rt = merge(merge(x, node(a)), y);
}
if(op == 2)
{
split(rt, a, x, z);
split(x, a - 1, x, y);
y = merge(ch[y][0], ch[y][1]);
rt = merge(merge(x, y), z);
}
if(op == 3)
{
split(rt, a - 1, x, y);
cout << siz[x] + 1 << endl;
rt = merge(x, y);
}
if(op == 4) cout << val[get_rank(rt, a)] << endl;
if(op == 5)
{
split(rt, a - 1, x, y);
cout << val[get_rank(x, siz[x])] << endl;
rt = merge(x, y);
}
if(op == 6)
{
split(rt, a, x, y);
cout << val[get_rank(y, 1)] << endl;
rt = merge(x, y);
}
}
return 0;
}
例题
调了好久。。。
我们要做的就是边输入边计算答案，由于平衡树有二叉搜索树的性质，所以我们在计算这个最小值的时候可以直接查找他的前驱和后继来计算，然后取 min 即可。
一开始我判断分裂完树是不是空的用的是不是等于 0。。。。结果 kth 函数一直 G。。。。
要在开始的时候插入一个 INF 和一个 -INF。。。。。
code;
#include <bits/stdc++.h>
#define bug cout << "FUCK" << endl;
#define INF 214748364
#define int long long
#define N 500100
using namespace std;
int ch[N][2], val[N], siz[N], key[N], cnt;
int n, rt = 0, ans;
inline int read(){int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
inline void push_up(int x) {siz[x] = 1 + siz[ch[x][0]] + siz[ch[x][1]];}
inline int node(int x)
{
cnt++;
siz[cnt] = 1;
val[cnt] = x;
key[cnt] = rand();
return cnt;
}
inline int merge(int x, int y)
{
// bug;
if(! x || ! y) return x + y;
if(key[x] < key[y])
{
ch[x][1] = merge(ch[x][1], y);
push_up(x);
return x;
}
else
{
ch[y][0] = merge(x, ch[y][0]);
push_up(y);
return y;
}
}
inline void split(int x, int k, int &xx, int &yy)
{
// bug;
if(! x) return xx = yy = 0, void();
if(val[x] <= k) xx = x, split(ch[x][1], k, ch[x][1], yy);
else yy = x, split(ch[x][0], k, xx, ch[x][0]);
push_up(x);
return ;
}
inline void split2(int x, int k, int &xx, int &yy)
{
if(! x) return xx = yy = 0, void();
if(siz[ch[x][0]] + 1 <= k) xx = x, split(ch[x][1], k - siz[ch[x][0]] - 1, ch[x][1], yy);
else yy = x, split(ch[x][0], k, xx, ch[x][0]);
push_up(x);
return ;
}
inline int kth(int x, int k)
{
while(1)
{
if(k <= siz[ch[x][0]]) {x = ch[x][0]; continue;}
if(k == siz[ch[x][0]] + 1) return x;
else k -= siz[ch[x][0]] + 1, x = ch[x][1];
}
}
inline int pre(int k)
{
int x, y, res;
split(rt, k, x, y);
res = val[kth(x, siz[x])];
// cout << "cao" << endl;
rt = merge(x, y);
return res;
}
inline int nxt(int k)
{
// cout << k << endl;
int x, y, res;
split(rt, k - 1, x, y);
res = val[kth(y, 1)];
rt = merge(x, y);
return res;
}
inline void insert(int a)
{
int x, y;
split(rt, a, x, y);
rt=merge(merge(x, node(a)), y);
return ;
}
signed main()
{
srand((unsigned)time(NULL));
cin >> n;
insert(INF);
insert(-INF);
int a;
cin >> a;
ans += a;
insert(a);
for(int i = 2; i <= n ; i ++)
{
cin >> a;
int c1 = pre(a);
int c2 = nxt(a);
if(c1 != -INF || c2 != INF)
ans += min(abs(c1 - a), abs(c2 - a));
insert(a);
}
cout << ans << endl;
return 0;
}
本文来自博客园，作者：北烛青澜，转载请注明原文链接：https://www.cnblogs.com/Multitree/p/16674038.html
The heart is higher than the sky, and life is thinner than paper.
