高等数学——微分

微分

微分的定义

设函数 \(y=f(x)\) 在某区间内有定义，\(x_{0}\) 及 \(x_{0}+\Delta x\) 在这区间内，如果函数的增量

\[\Delta y = f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) \]

可表示为

\[\Delta y = A\Delta x + o(\Delta x) \]

其中 \(A\) 是不依赖于 \(\Delta x\) 的常数，那么称函数 \(y=f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 是可微的，而 \(A\Delta x\) 叫做函数 \(y = f(x)\) 在点 \(x_{0}\) 相应于自变量增量 \(\Delta x\) 的微分，记作 \(dy\) 即

\[dy = A\Delta x \]

此时 \(A\) 与 \(x\) 有关，与 \(\Delta x\) 无关。

可微是可导的充分必要条件。

\(A\) 为 \(f(x)\) 在 \(x_{0}\) 处的导数。

基本微分公式与法则

\[d(u\pm v) = du + dv \]

\[d(Cu) = Cdu \]

\[d(uv) = vdu + udv \]

\[d(\frac{u}{v}) = \frac{vdu - udv}{v^{2}} \]

复合函数的微分

若 \(y = f(u),u=g(x)\)

则：

\[dy = y'_{x}dx=f'(u)g'(x)dx \]

微分的几何意义

\[\Delta y = f(x_{0}+\Delta x) - f(x_{0}) \]

\[dy = f'(x_{0})\Delta x \]

\(f'(x_{0})\) 是函数图像在 \(x_{0}\) 处的斜率。

微分在近似计算中应用

\[\Delta y = f(x_{0}+\Delta x) - f(x_{0}) \]

\[dy = f'(x_{0})\Delta x \]

\[\Delta y \approx dy \]

\[f(x_{0}+\Delta x) \approx f'(x_{0})\Delta x +f(x_{0}) \]

1. 半径 \(1cm\) 球，镀铜 \(0.01cm\).

\[V=\frac{4}{3}\pi r^{3},r_{0} = 1, \Delta r = 0.01 \]

\[V'=4\pi r^2 \]

\[\Delta V \approx 4\pi r^2 |_{r = 1} \Delta r = 4\pi \times 0.01 = 0.04 \pi \approx 0.13 cm^3 \]

2. 求 \(\sin 30^{o}30'\) 的近似值。

公式

\[x\to 0 \]

\[(1)(1+x)^{\alpha} \approx 1+\alpha x \]

\[(2)\sin x \approx x \]

\[(3)\tan x \approx x \]

\[(4)e^x\approx 1 + x \]

\[(5)\ln(1+x)\approx x \]

意义：用 \(x\) 的一个多项式来近似计算复杂的函数。

精确度：当 \(x\to 0\) 的时候差距很小。