高等数学——无穷小的比较

无穷小的比较

趋于 \(0\) 的速度快慢。

定义

如果 \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = 0\)，那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 高阶的无穷小，记作 \(\beta=o(\alpha)\)。

如果 \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = \infty\)，那么就说 \(\beta\) 是比 \(\alpha\) 低阶的无穷小。

如果 \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = c\ne 0\)，那么就说 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是同阶无穷小。

如果 \(\lim \frac{\beta}{\alpha^{k}} = c\ne 0，k>0\)，那么就说 \(\beta\) 是关于 \(\alpha\) 的 \(k\) 阶无穷小。

如果 \(\lim \frac{\beta}{\alpha} = 1\)，那么就说 \(\beta\) 与 \(\alpha\) 是等价无穷小，记作 \(\beta\sim\alpha\)。

等价无穷小在求极限的时候可以替换。

\(\sin x \sim x\)，\(\sqrt[n]{1+x}-1\sim \frac{1}{n}x\)。

定理1：\(\beta\) 与 \(\alpha\) 等价的充要条件是 \(\beta = \alpha + o(\alpha)\)。

定理2：\(\alpha\sim \widetilde{\alpha},\beta\sim\widetilde{\beta}\)，且 \(\lim \frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}}\)，则：

\[\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim\frac{\widetilde{\beta}}{\widetilde{\alpha}} \]

\[\sin ?\sim ?(?\to 0),\tan ?\sim?(?\to 0) \]