高等数学——数列的极限

数列的极限

定义

数列：\(x_{1},x_{2},\dots,x_{n},\dots\) 是一个从小到大的序列，称为数列，记为 \(\{x_{n}\}\)

其中 \(x_{1}\) 叫做项，\(x_{n}\) 称为通项（一般项）。

数列极限：设 \(\{x_{n}\}\) 是一个数列，\(\forall \varepsilon >0,\exists N\)，使当 \(n>N\) 时，$|x_{n}-a|<\varepsilon $，则称 \(a\) 是数列 \(\{x_{n}\}\) 的极限，也可以说数列 \(\{x_{n}\}\) 收敛于 \(a\)，记为：

\[\lim_{n \to \infty}x_{n} = a \text{或}x_{n}\to a(n\to \infty) \]

$\varepsilon $ 是一个任意小的距离，如果存在某一项，这项以后的所有项，都落在 $\varepsilon $ 的区间里。

收敛数列的性质

定理1（极限的唯一性）如果数列 \(\{x_{n}\}\) 收敛，那么它的极限唯一。

定理2（收敛数列的有界性）如果数列 \(\{x_{n}\}s\) 收敛，那么数列 \(\{x_{n}\}\) 一定有界。

定理3（收敛数列的保号性）如果 \(\lim_{n\to \infty}x_{n}=a\)，且 \(a>0\)（或 \(a<0\)），那么存在正整数 \(N>0\)，当 \(n>N\) 时，都有 \(x_{n}>0\)（或 \(x_{n}<0\)）。

推论：如果数列 \(\{x_{n}\}\) 从某项起有 \(x\ge 0\)（或 \(x_{n}\le 0\)），且 \(\lim_{n\to \infty}x_{n} = a\)，那么 \(a\ge 0\)（或 \(a\le 0\)）。

定理4（收敛数列与其子数列间的关系）如果数列 \(\{x_{n}\}\) 收敛于 \(a\)，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是 \(a\)。