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高等数学——映射

映射

定义

\(X,Y\) 是两个非空集合,如果存在一个法则 \(f\),使得对 \(X\) 中每个元素 \(x\),按法则 \(f\),在 \(Y\) 中有唯一确定的元素 \(y\) 与之对应,那么称 \(f\) 为从 \(X\)\(Y\) 的映射,记作:

\[f:X\to Y \]

其中 \(y\) 称为元素 \(x\) (在映射 \(f\) 下)的像,并记作 \(f(x)\),即:

\[y = f(x) \]

而元素 \(x\) 称为元素 \(y\) (在映射 \(f\) 下)的一个原像;集合 \(X\) 称为映射 \(f\) 的定义域,记作 \(D_{f}\),即 \(D_{f} = X\)\(X\) 中所有元素的像所组成的集合称为映射 \(f\) 的值域,记作 \(R_{f}\)\(f(X)\),即:

\[R_{f} = f(X)=\{f(x)|x\in X\} \]

注意:

三要素:\(X,f,R_{f}\)

  • \(R_{f}\subset Y\)\(R_{f}\) 不一定与 \(Y\) 相等,也就是说 \(Y\) 中的元素不一定有 \(X\) 中的元素与之对应,但 \(X\) 中的元素在 \(Y\) 中一定有元素与之对应。

  • 对于 \(x\in X\),其对应的 \(y\) 是唯一的,即一个 \(x\) 只能对应一个 \(y\),而两个 \(x\) 可以对应同一个 \(y\)

特殊映射

满射:

\(R_{f}=Y\),此时的 \(f\) 称为满射。

单射:

当每一个 \(y\) 只有一个 \(x\) 与之对应(一一对应),\(x_{1}\ne x_{2},f(x_{1})\ne f(x_{2})\),此时 \(f\) 称为单射。

一一映射:

既是单射又是满射的映射,此时 \(X,Y\) 中的元素数量相等。

逆映射:设 \(f:X\to Y\) 为单射,对于每个 \(y\in R_{f}\)(不一定是满射故不是 \(Y\)),都有唯一的 \(x\in X\) 满足 \(f(x) = y\),我们可以定义一个新的映射 \(g\),即:

\[g:R_{f}\to X \]

这个映射 \(g\) 称之为 \(f\) 的逆映射,记作 \(f^{-1}\),其定义域为 \(D_{f^{-1}}=R_{f}\),值域 \(R_{f^{-1}}= X\)

只有单射才有逆映射。

复合映射:

\(g:X\to Y_{1},f:Y_{2}\to Z\) 并且 \(Y_{1}\subset Y_{2},x\in X\),每个 \(x\) 能通过 \(g\) 再通过 \(f\) 得到 \(Y_{2}\) 里的元素,即 \(f[g(x)]\in Z\),这个映射称为 \(g\)\(f\) 构成的复合映射,记作:\(f\circ g\),即:

\[f\circ g:X\to Z,(f\circ g)(x)=f[g(x)],x\in X \]

此时 \(g\) 的值域必须包含在 \(f\) 的定义域内: $ R_{g}\subset D_{f}$。

复合映射是有顺序的, \(f\circ g\) 有意义不代表 \(g\circ f\) 有意义。

即使两个复合映射都有意义,两个复合映射也未必相同。

posted @ 2023-07-09 19:57  北烛青澜  阅读(136)  评论(2编辑  收藏  举报